Колінеарність векторів

Означення 5.1. Два ненульові вектори і називаються колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: (рис. 1.23)

Рис. 1.23 а) Рис. 1.23 б)

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені, або протилежно напрямлені. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Т е о р е м а 5.1. (1-а ознака колінеарності двох векторів)

Два ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число таке, що

(1).

Доведення

1. Необхідність. Нехай . Тоді або , або . Якщо , то , оскільки ці вектори однаково напрямлені і мають рівні модулі: . Позначивши , дістанемо . Якщо , то аналогічно доводиться, що . Нехай , тоді також .

2. Достатність. Нехай виконується рівність (1), тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні.

Теорему доведено.

Зауваження1. Якщо , то теорема також справджується, у цьому випадку .

Зауваження2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує і тільки одне число таке, що , то звідси формально можна записати

,

тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторі є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте із знаком плюс, якщо вектори і однаково напрямлені, і із знаком мінус, якщо вектори протилежно напрямлені.

Наприклад, вираз означає, що: 1) вектори і колінеарні; 2) вектори і протилежно напрямлені; 3) довжина вектора дорівнює половині довжини вектора .

5.2. Компланарність векторів

Означення 5.2. Три ненульові вектори називаються компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні до однієї площини або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори відкласти від довільної точки О: , то точки О, А, В, С будуть лежати в одній площині (рис. 1.24).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарні, то ці вектори компланарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 5.2. (про розклад вектора за двома неколінеарними векторами)

Якщо вектори компланарні, а вектори неколінеарні, то існують єдині числа такі, що

. (2)

Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.