Т е о р е м а 6.2

Система трьох векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення

1) Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, . З означення суми векторів випливає, що вектори компланарні, а тоді і вектори будуть компланарними, бо .

2) Достатність. Нехай вектори компланарні. Якщо , то за теоремою 1 вектори лінійно залежні, а тоді за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори . Якщо ж , то за теоремою про розклад вектора за двома неколінеарними векторами . Тоді за властивістю 1 система векторів лінійно залежна.

Теорему доведено.

Приклад. Дано правильну чотирикутну піраміду (рис. 1.29). Чи є лінійно залежними вектори: а) і ; б) і ; в) ; г) ; д) ; е) ?

Розв’язання

а) Вектори і неколінеарні, тому за теоремою 6.1 вони не є лінійно залежними;

б) і колінеарні, а тому лінійно залежні;

в) і колінеарні, отже, лінійно залежні; за властивістю 2 три вектори також лінійно залежні;

г) вектори компланарні, тому за теоремою 6.2 лінійно залежні;

д) не є компланарними, за теоремою 2 вони не є лінійно залежними;

е) – три некомпланарні вектори. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами, вектор є лінійною комбінацією цих векторів. За властивістю 1 вектори лінійно залежні.

§ 7. Тривимірний векторний простір і його підпростори

Побудована нами непорожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють перелічені властивості, а саме:

називається векторним простором. Позначимо його .

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення 7.1. Базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

1) ця система векторів лінійно незалежна;

2) будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.

Означення 7.2. Розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.

З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох некомпланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких 3-х некомпланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Ясно також, що всяка система з чотирьох векторів лінійно залежна, бо якщо ці вектори компланарні, то за теоремою 1.7 і властивістю 2 § 6 вони лінійно залежні. Якщо ж серед них є три некомпланарні вектори, то за теоремою 5.3 § 5 четвертий вектор є лінійною комбінацією цих трьох векторів, тому за властивістю 1 § 6 ця система лінійно залежна. За властивістю 2 § 6 всяка система векторів, кількість яких більша ніж 4, також лінійно залежна. Два вектори також не можуть утворювати базис, бо не всякий вектор є лінійною комбініцією двох векторів.

Тому розмірність даного простору V₃ дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення 3. Нехай – непорожня множина векторів із векторного простору . Множина L називається векторним підпростором простору V ₃, якщо виконуються такі умови:

1) якщо , то ;

2) якщо , то і для .

Тобто, підмножина L простору V ₃ буде векторним підпростором простору V ₃, якщо вона сама є векторним простором.