Доведення. Доведемо спочатку існування чисел і ,

Доведемо спочатку існування чисел і , що задовольняють рівність (2). Відкладемо від деякої точки О вектори . Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому точки О, А, В не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1). Точка С належить прямій ОВ (рис. 1.25а)). Тоді вектори і колінеарні і, отже, за теоремою 5.1. , де - деяке число. Значить, , тобто має місце розклад (2).

2). . Проведемо (рис. 1.25б)). Тоді за правилом трикутника . Але , , де – деякі числа. Тоді .

Доведемо тепер єдиність розкладу (2). Припустимо, що крім розкладу (2), існує ще один розклад вектора :

. (3)

Тоді, віднявши (3) від (2),дістанемо . Але ця рівність можлива тільки тоді, коли . Дійсно, якби, наприклад, , то було б , що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і .

Теорему доведено.

Теорема 5.3. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами).

Якщо вектори некомпланарні, то для будь-якого вектора існують і притому єдині числа такі, що

. (4)