Віднімання векторів

Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додава­-н­­­ня.

Означення 3.2. Різницею векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор : , якщо . (1)

Доведемо, що вектор існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності (1) вектор і користуючись властивостями суми векторів, будемо мати

;

. (2)

Отже, якщо вектор існує, то він визначається рівністю (2), а тому єдиний. Доведемо, що вектор існує. Таким вектором буде вектор, що визначається формулою (2). Дійсно, підставивши (2) в (1), одержимо правильну рівність: .

Отже, вектор, який визначається формулою (2), є різницею векторів і : .

За правилом трикутника . Звідси (рис. 1.16)

Отже, для побудови різниці векторів і досить відкласти ці вектори від спільного початку: , і провести вектор від кінця В вектора-від’ємника до кінця С вектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею :

.

Зауважимо, що в паралелограмі, побудова­но­му на векторах і , одна з діагоналей зображає суму векторів і , а друга – їх різницю (рис. 1.17).

;

.

Приклад. Дано трапе­цію (рис. 1.18). Знайти вектори:

а) ;

б) ;

с) .