Доведення. Доведемо спочатку існування такого розкладу

Доведемо спочатку існування такого розкладу. Відкладемо вектори від деякої точки О: .

Рис. 1.26 а) Рис. 1.26 б)

Розглянемо два випадки:

1) Точка лежить на прямій ОС (рис. 1.26а)). У цьому випадку . За теоремою 5.1 , або , тобто розклад (4) існує.

2) (рис. 1.26 б)). У цьому випадку проведемо (точка лежить у площині ОАВ). Тоді . Оскільки , то існує таке число , що . Вектори компланарні, а вектори , некомпланарні. Тому за теоремою 5.2 існують такі числа і , що .

Отже, .

Доведемо тепер єдиність розкладу. Нехай існують два різні розклади вектора за векторами : , . Віднявши ці рівності, дістанемо . Ця рівність можлива тільки тоді, коли . Справді, якби, наприклад, , то , а тоді вектори були б компланарними, що суперечить умові. Отже, припущення неправильне, тому розклад вектора за некомпланарними векторами єдиний. Теорему доведено.