Рівність векторів

Означення 2.7 Два вектори називаються рівними, якщо множини відповідних їм напрямлених відрізків збігаються.

Позначення: .

Із цього означення випливає така ознака рівності двох векторів.

Т е о р е м а 2. 1. (Перша ознака рівності 2-х векторів).

Для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб вони були однаково напрямленими і мали рівні довжини.

Доведення.

1) Необхідність. Нехай вектори і рівні. Доведемо, що і .

Якщо = , то за означенням 1.7 множини напрямлених відрізків, які відповідають цим векторам, збігаються. Тому , . Звідси , , що й треба було довести.

2) Достатність. Нехай , . Доведемо, що .

Якщо , , то , , тобто і належать одній і тій же множині однаково напрямлених відрізків рівної довжини. А це означає, що = .

Теорему доведено.

Наслідок. Два вектори, кожен з яких дорівнює третьому, рівні між собою.

Т е о р е м а 2. 2. (теорема про відкладання вектора).

Від будь-якої точки простору можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж єдиний.

Д о в е д е н н я

Нехай даний вектор зображається напрямленим відрізком . Виберемо у просторі довільну точку О, сполучимо точку В з точкою О і позначимо середину відрізка ОВ через С (рис. 1.5). Проведемо відрізок АС і відкладемо на його продовженні відрізок СМ = АС. Чотирикутник АВМО є паралелограмом, бо його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Звідси одразу випливає, що промені АВ і ОМ однаково напрямлені, а відрізки АВ і ОМ рівні. Отже, .

Доведемо тепер, що цей вектор єдиний. Припустимо, що існує інший вектор , відмінний від . Але ж і , тому . Отже, тому точки М і збігаються, що суперечить припущенню. Тобто від точки О можна відкласти лише один вектор, рівний даному вектору .

Теорему доведено.

Означення 2.8. Два вектори називаються протилежними, якщо вони протилежно напрямлені і мають рівні довжини. Вектор, протилежний до , позначається (рис. 1.6). Очевидно, .

Введений нами вектор називається вільним вектором. Але в математиці і її застосуваннях (механіці, фізиці і т.п.) використовують ще т. з. ковзні і зв’язані вектори. Ковзний вектор – це множина однаково напрямлених відрізків рівної довжини, які лежать на одній прямій (рис. 1.7). Таким вектором можна зобразити силу, прикладену до абсолютно твердого тіла. Зв’язаний вектор – це напрямлений відрізок. Зв’язаним вектором зображають, наприклад, вектор швидкості частини рідини, яка рухається з завихренням.

У даному курсі геометрії застосовуватимемо тільки вільні вектори, які будемо називати векторами, опускаючи слово “вільний”. Вільний вектор цілком визначається заданням його модуля (довжини) і напряму; за початок вільного вектора може бути вибрана будь-яка точка простору.

П р и к л а д

М

Нехай дано паралелограм ABCD, О – точка перетину його діагоналей, К, М, Р – середини відповідно сторін BC, CD, AD. Назвати вектори: а) рівні вектору ; б) протилежні вектору (рис. 1.8).