Следствие из формулы Лагранжа

1)Постоянство функции,имеющей на интервале равную нулю производную.

Теорема: Если функция дифферинцируема всуду на интервале (ab),и если всюду на интервале f’(x)=0,то функция является постоянной на интервале (ab).

Доказательство: Пусть -некоторая дифференцируемая точка на интервале (ab),а x-любая точка этого интервала. Отрезок ( х) или (х ),целиком принадлежит интервалу (ab).Поэтому функция f(x) дифференцируема всюду на этом отрезке. Это даёт право применить к функции f(x) на этом сегменте теорему Лагранжа.

f(x)-f()=(x- )f’(c) (6)

По условию производная f(x) равна 0 всюду на интервале (ab),следовательно f’(c)=0,и из формулы (6) получим f(x)=f() (7)

Равенство (7) утверждает, что функция f(x) в любой точке х,интервала (ab) равно её значению в дифференцируемой точке .это и означает, что функция постоянна всюду на интервале (ab).

2)Условия постоянства функции на интервале.

Теорема

Для того что бы дифференцируемая на интервале (ab) функция f(x) не убывает (не возрастает) на этом интервале,необходимо и достаточно, что бы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство

Пусть f’(x) ),всюду на интервале (ab).Требуется доказать, что f(x) не убывает (не возрастает) на интервале (ab).

Пусть -любые две точки из интервале (ab),удовлетворяющих условию . Функция дифференцируема всюду на отрезке [ ].Поэтому к f(x),можно применить теорему Лагранжа.

f( -f( =( (8)

где ,по условию f’(x) ), ,поэтому правая, а стало быть и левая часть (8) неотрицательны(неположительны),что и доказывает неубывание (невозрастание) f(x) на (ab).

ВОПРОС

Вычисление значений тригонометрических функций.

Зная значения тригонометрических функций на отрезке [0; π/4], и используя формулы приведения легко определить значения этих функций для всех х.

Ограничимся вычислением для .

Пусть точность равна 10^-4, положим в формуле Пеккория для n = 5,

, где .

и поэтому для любого х, удовлетворяющего условию с точностью до 10^-4 .

В формуле Пеккория для возьмём n = 6.

, где .

и поэтому для любого х, удовлетворяющего условию с точностью до 10^-5 .