Теорема Ролля о нуле производной

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Пусть кроме того f(a)=f(b). Тогда внутри отрезка найдется точка с такая, что значение производной в этой точке .

Доказательства: Так как функция f(x) непрерывна на отрезке , то эта функция достигает на отрезке своего максимального значения M и своего минимального значения m. При этом могут быть представлены два случая 1)M=m,2)M>m.

В первом случае f(x)=M=m=const.Поэтому производная равна нулю в любой внутренней точке отрезка .В случае M>m, поскольку f(a)=f(b), то можно утверждать. что хотя бы одно из двух значений M или m достигает функцией в некоторой внутренней точке с отрезка . Но тогда функция f(x) имеет в этой точке с локальный экстремум. Поскольку функция f(x) дифференцируема в точке с, то по предыдущей теореме .

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайний ординаты кривой y=f(x) равны, то согласно теореме Ролля, на кривой y=f(x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельно оси Ox.