Классы интегрируемых функций. Теорема: Непрерывные на отрезке функции интегрируемы на этом отрезке

Теорема: Непрерывные на отрезке функции интегрируемы на этом отрезке.

Доказательство: Если функция непрерывна на отрезке то согласно теореме Кантора, она равномерно непрерывна на , то есть, для любого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек . Исходя из определения равномерной непрерывности, для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число . Рассмотрим разбиение с диаметром, меньше величины . Оценим разность между верхней и нижней суммами D. В этом случае . В силу выбора диаметра разбиения, замечаем, что для всех отрезков выполняется неравенство . Таким образом, показали, что

Если функция непрерывна, то для неё существует определённый интеграл.

Свойства определённого интеграла.

1.Если функция и интегрируемы на , то функция также интегрируема на .

Справедливость первого свойства вытекает из справедливости соотношения интегральных сумм . Это соотношение справедливо для любого разбиения отрезка и любого выбора точек , так как существует предел от правой части, то существует предел от левой части, что и доказывает справедливость 1 свойства, которое можно записать в виде:

2. Если функция интегрируема на то с также интегрируема на , где с - некоторая const.

. Справедливость 2 свойства вытекает из справедливости для любого разбиения и любого выбора точек

Следствие 1. Линейная комбинация интегрируемых на отрезке функций также интегрируема на . Причём имеет место соотношение:

3. Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом отрезке , содержащемся в отрезке .

Доказательство: Рассмотрим разбиение , для которого выполняется соотношение . Обозначим разбиение через . Добавим к этому разбиению точки c и b в результате получим новое разбиение верхняя и нижняя сумма которого обозначим s’ и S’

S’- может только уменьшаться, s ’- может только увеличиваться, то Рассмотрим разбиение .Обозначим точками новое разбиение, для него имеет место неравенство, . Поскольку левая часть неравенства целиком содержится в “штриховой” части неравенства, остальные слагаемые которого положительны. Таким образом имеем

4.Если функция интегрируема на и то функция интегрируема на , причём имеет место соотношение.

Доказательство: Рассмотрим случай, когда точка тогда можно представить в виде видим разбиение отрезка . ,

Для которого имеет место неравенство: разбиение отрезка для которого образует разбиение ,для которого выполняется соотношение . Этим установим, что интегрируема на . Осталось доказать, что - (*). Для доказательства рассмотрим его разбиение.

ВОПРОС

Площадь криволинейной трапеции.

Пусть дана некоторая функция .

Возьмем на графике функции произвольную точку A и B и опустим перпендикуляры AC и BD на ось ox. Получим фигуру ACDB которая называется криволинейной трапецией. Если AB - отрезок прямой не параллелен оси ox, то получится прямоугольная трапеция. Для вычисления площади S криволинейной трапеции, заменим ее площадью ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Площадь ступенчатой фигуры легко вычисляется:.

Сумму S` рассматривают, как приближенное значение площади криволинейной трапеции, заменив площадь криволинейной трапеции, площадью ступенчатой фигуры. =>

Оценим возникающую при этом погрешность, для этого выберем наибольший прямоугольник и достроим его до прямоугольника с высотой, равной максимальному значению функции на отрезке [a,b]. Перенесем все заштрихованные криволинейные треугольники в построенный прямоугольник. Треугольники в прямоугольнике составляют фигуру в виде края пилы.

Т.к. вся эта фигура умещается в прямоугольнике, то ошибка , равная сумме площадей зубьев пилы должна быть меньше площади прямоугольника.

Обозначим ширину прямоугольника через , получим что , величина BD - постоянная и из полученной оценки следует, что ошибку можно сделать сколь угодно малой, если взять прямоугольник с достаточно малой шириной .

График функции, изображенный на рисунке, расположен выше оси ox. Если бы график функции располагался ниже оси ox, то площади криволинейной трапеции приписывался знак “-”. Если функция на различных участках изменения x принимает как положительное, так и отрицательные знаки, то площадь криволинейной трапеции может быть как положительна, так и отрицательна.

Площадь криволинейного треугольника A`B`C`D` отрицательна, площадь криволинейной трапеции A``B``C``D`` положительна.

Фигура А так же называется кривой трапецией. Её площадь рассматривается как сумма площадей фигур ACK, KA`B`L и LA``B``BD, причем площади первой и третьей положительны, а площадь второй отрицательна.

Для оценки погрешности вычисления площадей криволинейной трапеции, задаваемых функциями с чередующими подъемами и спусками, фигуру разбивают на части, соответствующие участкам монотонности функции.

Оценка погрешности в этом случае производится по отдельности и общая погрешность складывается из полученных погрешностей. При переходе к пределу, когда число прямоугольников стремится к бесконечности, а основание самого широкого треугольника стремится к нулю, получают площадь криволинейной трапеции.

Определенный интеграл.

Возьмём функцию на . Разобьём отрезок на произвольное число отрезков, длины которых обозначим через точки.

Составим сумму

Сумма (1) называется интегральной . Интегральная сумма (1) представляет собой сумму площадей прямоугольников с основаниями и высотами множество отрезков называется разбиением отрезка

Последовательность разбиений называется нормальной, если диаметр разбиения стремится к 0 при . - длина наибольшего отрезка

Определение: Если функция обладает тем свойством, что для каждой нормальной последовательности разбиения { } соответствующая последовательность интегральных сумм имеет конечный предел независимо от выбора точек , то говорят, что функция интегрируема на отрезке [a,b].