Замена переменной в определенном интеграле. Пусть - непрерывна на [a,b], функция непрерывна на отрезке и имеет на этом отрезке непрерывную производную

Пусть - непрерывна на [a,b], функция непрерывна на отрезке и имеет на этом отрезке непрерывную производную. непрерывна и определена на , кроме того выполняется соотношение , при сделанных ограничениях имеет место равенство:

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на [a,b] - имеет первообразную согласно формуле Ньютона-Лейбинца:

Сложная функция при сделанных оговорках дифференцируема и при сделанных оговорках будет равна:

По формуле Ньютона-Лейбинца можно записать:

Сравнивая правые части формул 1,2 убеждаемся в справедливости:

ВОПРОС

Свойства сумм Дарбу.

1.Если к имеющимся точкам разбиения отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма D может только увеличиваться, а верхняя сумма D только уменьшится.

Доказательство: Присоединяем к уже имеющимся точкам деления точку x, пусть x попала в отрезок , имеют место неравенства .

Пусть S’- новая верхняя сумма D. Эти суммы отличаются только на .Пусть M – точная верхняя грань функции на отрезке , - точная верхняя грань на отрезке , - точная верхняя грань на отрезке , очевидно, что , .Сумму S’ отрезок даёт вклад, равный .

Поскольку остальные слагаемые в верхней сумме D одинаковы, получаем, что . Случай нижней суммы D рассматривается аналогично.

2. Каждая нижняя сумма D не больше верхней суммы D, даже если они соответствуют различным разбиениям отрезка .

Доказательство: Рассмотрим 2 разбиения , . Для каждого разбиения введём нижнюю и верхнюю суммы D. s’, S’, s’’, S’’,

Рассмотрим вспомогательное разбиение образованное точками и . Новому разбиению будет соответствовать нижнее s и верхняя сумма D. S , , .

Согласно 1 –свойству сумм D добавление новых точек не может приводить к уменьшению нижней суммы D. В силу транзитивности .

Теорема: (Условие существования определённого интеграла). Для существования определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы