Непрерывность тригонометрических функций

Докажем непрерывность функции в точке О,y=sinx,покажем

Изобразим аргумент функции y=sinx на единичной окружности, причём угол будем измерять в радианах. На основании отложенного угла построим треугольник АОВ, и сектор круга АОВ. Очевидно

1/2х

Т.о. заключаем, когда х изменяется то 0 до ,справедливо неравенство sinx<x.

Построим график y=sinx и y=x.

Построим график функции y=|sinx|,y=|x|

Из построенного графика видим, что функции sinx справедливы оценки 0 .

Пусть { -произвольная плоскость сходящаяся к 0. плоскости {|sinx|},{|x|}.Для этих плоскостей справедливы оценки 0 .Т.к. плоскость { сходится к 0,то согласно принципу двухстороннего ограничения .Т.о. доказали, что функция sinx непрерывна в точке 0.

Докажем теперь непрерывность функции sinx в произвольной точке числовой прямой.

То есть покажем, что , для этого воспользуемся известной тригонометрической формулой

Пусть -произвольная последовательность сходящаяся в точке a, согласно записанной тригонометрической формуле имеем: .

Найдём пределы от левой и правой части. В правой части стоит элемент последовательности, который можно рассматривать как произведение двух последовательностей: , . Первая является ограниченной, вторая в силу непрерывности функции sin x в нуле, является бесконечно малой последовательностью, произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, даёт бесконечно малую последовательность, следовательно .

Согласно определению по Гейне

Непрерывность функции cos x, вытекает из формулы приведения и таким образом непрерывности сложной функции

Таким образом функция cos x представлена как суперпозиция y=sin t и функция

Обе функции непрерывны, откуда вытекает непрерывность функции cos x.

Непрерывность функции tg x и ctg x вытекает из представления и , и из теоремы о частном двух непрерывных функций. Таким образом заключаем, что функция tg x непрерывна во всех случаях числовой прямой за исключением точек , ctg x-функция непрерывна на всей числовой прямой за исключением точек .

Согласно теореме о непрерывности обратной функции заключаем, что обратные тригонометрические функции arcsin, arcos, arctg, arcctg, непрерывны во всех точках множества определений этих функций.

Известно, что все элементарные функции непрерывны в точках, принадлежащих их области определения.

Напомним, что функция называется элементарно, если она получена из простейших элементарных функций, с помощью четырёх арифметических операций и операции суперпозиции, примененных конечное число раз.

ВОПРОС

Обобщённая формула конечных приращений

Теорема: Если каждая из 2-х функций f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [ab] и дифференцируема во всех точках этого отрезка и если кроме того производная g’(x) отлична от 0,всюду на отрезке [ab],то внутри отрезка найдётся точка с, такая, что справедлива формула:

Формулу (9) называют обобщённой формулой конечных прирощений.

Доказательство: Покажем вначале,что g(a) .если бы это было не так,то для функции g(x) были бы выполнены на отрезке [ab] все условия теоремы Ролля и на этой теореме внутри отрезка [ab] казалась бы в точке с, те же.что g’(c)=0.

Последнее противоречие условий теоремы.

Поскольку g(a) то нужно рассмотреть вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-f(a)- (g(x)-g(a)) (10)

В силу требований принадлежавших к f(x) и g(x),функция F(x) непрерывна на отрезке [ab],и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того F(a)=F(b)=0. Т.о. для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка [ab] найдётся точка с,так, что F’(c)=0

Следовательно.так как F’(x)=f’(x)- g’(x),то

f’(с)- g’(с)=0

Т.к. gэ(с) ,то получим формулу Коши.

Раскрытие неопределённостей (Правило Лопиталя)

Раскрытие неопределённостей вида .

Теорема:(Правило Лопиталя) Пусть представляет собой проколотую -окрестность точки а, функции определены и дифференцируемы на , и кроме того, производная не обращается на в нуль. Пусть также . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причём справедливо соотношение =

Доказательство: пусть - произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а, и состоящая из чисел отличных от а. Доопределим функции в точке а, положив их равными нулю в этой точке. При таком доопределении функции окажутся непрерывными в - окрестности точки а. рассмотрим произвольный сегмент ограниченный точками а и , функции будут непрерывны на этом сегменте. Кроме того функции дифференцируемы во всех внутренних точках сегмента, и производная не обращается в этих внутренних точках в нуль. Это даёт право применить формулу Каши . (11)

Учитывая, что до определённых функций , , тогда = , (12)

находится между точками а и , так как при , , то и

при , в силу существования предела и определения предела функции по Гейне правая часть (12) имеет предел при равный пределу (13). Стало быть, тот же самый предел при имеет и левая часть (12). Таким образом получим: = . Правило Лопиталя «действует» не всегда, предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Пример: пусть , рассмотрим предел = , хотя предела отношения не существует , так как предела не существует.

Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции , то правило Лопиталя можно применить повторно.

1)

2)

3)

Раскрытие неопределённости вида

Принято говорить, что отношение двух определённых в окрестности точки а, функций , представляет собой при неопределенность вида , если

Теорема: (второе правило Лопиталя) Пусть представляет собой проколотую -окрестность точки а, функции определены и дифференцируемы на , и кроме того, производная не обращается на в нуль. Пределы функций в точке а бесконечны. . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причём справедливо соотношение = .

Без доказательства!

44 ВОПРОС

Основные теоремы о дифференцирующих функциях.

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности фиксированной точки с.

Определение: Будем говорить, что функция возрастает (убывает) в точке с, если найдем точки окрестности точки с в пределах которой f(x)<f(c) при x<c и f(x)>f(c) при x>c (f(x)>f(c) при x<c, f(x)<f(c) при x>c).

Определение: Будем говорить, что функция имеет в точке с локальный максимум (локальный минимум),, если найдем точки окрестности точки с в пределах которой значение f(c) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений f(x) этой функции.

Определение: Будем говорить, что функция имеет в точке с локальный экстремум, если эта функция имеет в указанной точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

Теорема: (Достаточное условие возрастания или убывания функции в точке)

Если функция дифференцируема в точке с и её производная в данной точке положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) в точке с.

Доказательства: Проведем все рассуждения для случая (при рассматривается аналогично).По определению производной На основании определения предала функции по Коши для положительного числа найдется такая, что

при

Раскрыв модуль получим

, при ,

Таким образом, всюду в проколотой - окрестности точки с .А это означает, что всюду в пределах - окрестности точки с f(x)>f(c) при x>c c и f(x)>f(c) при x<c, то есть функция возрастает в точке с.

При рассматривается аналогично.

Заметим, что положительность (отрицательность) производной не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке с функции .

Например функция возрастает в точке с=0, в то время производная этой функции обращается в ноль в точке с=0.

Теорема: (Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции).Если функция дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум,то .

Доказательства: По условию теоремы существует конечная производная так как функция имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с ни возрастать, ни убывать. Следовательно производная не может быть ни положительной, ни отрицательной.Тем самым доказано, что .Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Она утверждает,что если в точке локального экстремума, существует касательная, то эта касательная параллельна оси Ox.Обращение в нуль производной является лишь необходимым и не является достаточным условием локального экстремума.