Свойства интегрируемых функций

1.Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

2.Если функция интегрируема на отрезке , то для любой нормальной последовательности разбиения { }, соответствующей последовательность интегральных сумм, стремится всегда к одному и тому же пределу.

Определение: Общийпредел последовательности интегральных сумм, соответствующих нормальным последовательностям разбиения, называется определенным интегралом функции на отрезке .

Определённый интегралом обозначается , где a – нижний предел

интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Символ предложил Лейбниц где - общее слагаемое интегральной суммы. Знак интеграла - это стилизованная буква S, слово “интеграл” предложил ученик и сподвижник Лейбница, Иоганн Бернули. Integer – целое, полное.

Приведённое определение определённого интеграла называется также, интегралом Риммона. Согласно этому определение можно записать:

Принято считать, что ,

Сумма Дарбу Жана Гастона и их свойства обозначим - точные нижние и верхние грани функции в каждом i –промежутке

Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммой Дарбу из определения нижней и верхней грани. .

Умножим все части записанных неравенств на и сложив полученные выражения, придём к неравенству .

При фиксированном разбиении суммы s и S определяются однозначно, в то время когда интегральная сумма остаётся переменной величиной, зависящей от выбора точек . Полученное неравенство показывает, что s и S – являются точными нижними и верхними гранями интегральных сумм.

ВОПРОС

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Квадратичной иррациональностью называется выражение вида: где a, b, c – некоторые вещественные числа, R(x, y)-рациональная функция от двух переменных.

Будем считать, что квадратный трехчлен не имеет кратных корней. Покажем, что интеграл от выражения такого типа рационализируется с помощью подстановки Эйлера.

Рассмотрим сначала случай, когда квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Так как трехчлен стоит под знаком квадратного радикала, то его значения должны быть не отрицательны . Покажем в этом случае, что может быть использована первая подстановка Эйлера.

найдем значения х через величину t.

Найдем величину дифференциала dx:

.,

То есть дифференциал х является рациональной функцией.

Найдем выражение для квадратного радикала:

Таким образом, квадратичная рациональность интеграла принимает вид:

Если величина С неотрицательна, то для рационализации может быть использована вторая подстановка Эйлера.

введем новую переменную

,

, ,

,

Видим, что вторая подстановка Эйлера рационализирует. Рассмотрим случай, когда имеет действительные корни, то есть его мы можем представить в виде выражения: , где - корни квадратного трехчлена. Обычно третью подстановку Эйлера, которая имеет вид:

,

,

,

,

Таким образом квадратичная иррациональность примет вид: