Теорема Лагранжа (формула Лагранжа)

Теорема: Если функция непрерывна отрезке (ab),и дифференцируема во всех точках этого отрезка, то внутри отрезка (ab) найдётся точка С, такая, что справедлива формула: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Доказательство:

Рассмотрим на отрезке (ab) вспомогательную функцию.

F(x)=f(x)-Fa)+ (2)

F(a)=f(a)-f(a)+ =0

F(b)=f(b)-f(a)+ =0

Для формулы (2) выполняются все условия теоремы Ролля.Функция f(x)непрерывна на отрезке (ab),и во всех внутренних точках отрезка (ab),и имеет производную:

F’(x)=f’(x)-

Согласно теоремы Ролля внутри отрезка (ab) найдется точка С такая, что:

F’(с)=f’(с)- =0 (3)

Из формулы (3) вытекает Лагранжа (1) f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Формула (1) верна для случая b>a и b<a.

Для выявления геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина есть второй коэффициент секущей, проходящей через точку А(a,f(a)) и B(b,f(b)) кривой y=f(x),а f’(x),есть правый коэффициент касательной и правой y=f(x),проходящей через точку С(с,f(c)).Формула (1) означает, что на правой y=f(x),между точками A и B найдётся точка С касательная в которой пресекается секущей.

Иногда формула Лагранжа записывается в виде:

f( (4)

где с некоторая точка находящаяся между и (

Точку с можно представить в виде:

с= +θ где 0< θ<1

формулу (4) можно представить в виде f( θ ) (5)

Формула (5) даёт тожное рпирощение для рпирощения функции через вызывающее его произвольное конечное прирощение аргумента.