Формула Ньютона - Лейбница

Пусть функция интегрируема на отрезке [a,b], точка р [a,b], тогда на отрезке [a,b] можно рассмотреть функцию . - интеграл с переменным верхним пределом. Таким образом, могут быть представлены некоторые функции, не являющиеся элементарными. Например:

-интеграл Пуасано. -интеграл sin.

Теорема: если функция интегрируема на отрезке [a,b], точка р [a,b], то функция дифференцируема в каждой точке непрерывности функции , причем в этих точках имеет место соотношение: = .

Доказательство: пусть функция -непрерывна в точке .

для любого положительного числа , найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех и выполнялось неравенство

из последнего неравенства следует, что :

причем величина х может быть меньше , тогда можно говорить об отрезке , или величина х может быть больше , тогда можно говорить об отрезке . Заметим что в любой точке , принадлежащей выписанным отрезкам, будут выполняться неравенства , так как точка принадлежит отрезку либо , то используя теорему о среднем значении функции , в некоторой точке , можно представить в виде: , причем это представление справедливо, когда . Подставим представление в неравенство, получим: . Используя 4 свойство определенного интеграла -разобьем на два интеграла:

= + = - = , таким образом получаем: , для всех точек удовлетворяющих неравенству . Записав двойное неравенство с помощью модуля, получим: , для всех . Откуда следует согласно определению предела по Коши: , вспоминая определение производной, заключаем, что = . Теорема доказана.

Следствие: любая непрерывная на отрезке [a,b] функция имеет на этом отрезке первообразную, одной из этих первообразных является функция: .

Для получения формулы Ньютона-Лейбница, заметим, что две любые первообразные, отличаются друг от друга на постоянную. Пусть на ряду с функцией , функция имеет первообразную , тогда - =const (4). Рассмотрим соотношение (4) при .

- ; ;

-

- = (5)

Полученная формула (5), называется формулой Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления).