Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Дробно-линейной иррациональностью называется, выражение вида: , где n-натуральное число.

Покажем, что иррациональность такого типа убирается с помощью подстановки ,

то есть получили интеграл от переменной t.

ВОПРОС

Интегрирование рациональных выражений

Не смотря на то, что операция интегрирования выводит за пределы класса элементарных функций, существуют достаточно широкие классы функций интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Наиболее важным из таких классов является класс рациональных функций. Функция R(x) – называется рациональной, если она выражается через отношение двух алгебраических многочленов.

, где функция называется также рациональной дробью. Дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена стоящего в знаменателе – m<n. В противном случае дробь называется неправильной. Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Теорема: пусть - правильная рациональная дробь, с вещественными коэффициентами, знаменатель которой можно представить в виде:

Тогда для этой правильной дроби, справедливы следующие разложения на сумму простейших дробей:

+…+ +

+ + , где

-некоторые вещественные постоянные, часть из которых может равняться нулю.

На практике для разложения правильной дроби на сумму простейших дробей, используется метод неопределенных коэффициентов.

ВОПРОС

Основные методы интегрирования.

1.Непосредственное интегрирование.

Непосредственным интегрированием называется вычисление неопределённого интеграла с помощью таблицы производных тождественные преобразования функции и указанных ранее свойств неопределённого интеграла.

- применяем 3-е свойство неопределённого интеграла таблицы интегралов.

2.Интегрирование заменой переменной (метод подстановки).

Замена переменной x – это один из самых эффективных методов интегрирования. , причём непосредственное интегрирование не удается, сделаем замену переменной. (3) где - непрерывная дифференцируемая функция, обладающая обратной, в этом случае дифференциал будет равен: ,подынтегральное выражение можно записать в виде: .

Докажем справедливость соотношения (4)

(4)

Правая часть соотношения (4) понимается, как выражение от x, получаемое из первообразной, стоящей в правой части, переходим от переменной t к переменной x. Для доказательства соотношения (4) вычислим производную по x от обоих частей равенства.

Вычислим производную по x от правой части равенства.

Таким образом доказано соотношение (4).

3. Интегрирование по частям.

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится интегрирование по частям.

Рассмотрим две дифференцируемые функции на интервале (a, b).

откуда следует, что откуда получаем, что .

Интегрируя левую и правую часть получим:

(5)

Формула (5) позволяет заменять вычисление интеграла на . Вычисление интеграла по формуле (5) называется интегрирование по частям.

ВОПРОС

Неопределённый интеграл.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (a, b) если функция F(x) дифференцируема на заданном интервале и в каждой точке x интервала выполняется равенство: F’(x)=f(x).

Из приведенного определения следует, что если функция F(x) является первообразной для f(x), то функция F(x)+С также является первообразной для функции f(x) на (a, b).Кроме того имеет место следующая теорема.

Теорема: Если F₁(x), F₂(x) – две первообразные функции для f(x) на (a, b), то всюду на этом интервале выполняется соотношение F₁(x)-F₂(x)=const.

Доказательство: Рассмотрим функцию Ф(x)= F₁(x)-F₂(x).Функции F₁(x) и F₂(x) дифференцируемы на интервале (a, b),разность двух дифференцируемых функций даёт дифференцируемую функцию, Ф(x) – дифференцируема, и имеет место соотношение: Ф’(x)= (F₁(x)-F₂(x))’= F₁’(x)-F₂’(x)= f(x)-f(x)=0.

Согласно следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции равна 0, всюду на интервале (a,b),то эта функция равна константе на этом интервале.

Ф(x)=const из этого следует, что F₁(x)-F₂(x)= const

Следствие: Если F(x) – некоторая первообразная функции f(x) на интервале (a, b), то любая первообразная функции f(x) может быть представлена в виде F(x)+ const.

Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом.

Эта совокупность обозначается: (1)

Знак ” ”- интеграл; f(x)dx-подынтегральное выражение: f(x)-подынтегральное функция. Согласно следствию из ранее приведенной теоремы, можно записать: (2). Заметим, что если функция f(x) обладает первообразной, то подынтегральное выражение f(x)dx можно представить в виде: f(x)dx=F’(x)dx=dF

Свойства неопределённого интеграла.

1. , 2.

Доказательство свойства 1: Достаточно взять дифференциалы от обоих частей равенства (2). Доказательство свойства 2 вытекает из возможности представления подынтегрального выражения дифференциалом первообразной.

Следующие 2 свойства называются свойствами линейности:

3.

4. , где A=const

Доказательство свойства 3: вытекает из 2-го, если F(x) первообразная, для f(x),а G(x) первообразная для функции g(x), то выражение является первообразной для функции .

Доказательство свойства 4 вытекает из соотношения:

Зная таблицу производных, исходя из определения неопределенного интеграла, легко выписать таблицу неопределённых интегралов:

1. , 2. , 3.

4. , 5. ,6.

7., , 8.

9. , 10.

11.

12. - короткий логарифм

13. - длинный логарифм

1. - широко применяется в теории вероятности, задачах теплопроводности, диффузии.

2. - интеграл Френеля. Используется в оптике.

3. - интеграл Френеля. Используется в оптике.

4. - интегральный логарифм.

5. -интегральный косинус.

6. -интегральный синус.

ВОПРОС

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема: пусть на одном и то же множестве заданы функции f(x), g(x), непрерывна в точке а, тогда функция f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x), дифференцируемы в точке а (в случае частного нужно дополнительно потребовать условие g(x) не равного 0).

Доказательство: Так как непрерывные в точке а функции f(x), g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные f(а), g(а), то всю теорему о пределе суммы, разности, произведения, частного получаем ; ; , а это и означает непрерывность суммы, разности, произведения, частного функции f(x), g(x).

Сложная функция и её непрерывность.

Теорема: Пусть функция непрерывна в точке а, функция непрерывна в точке , тогда сложная функция

непрерывна в точке а.

Доказательство: Рассмотрим производную сходящейся последовательности , предел которой равен а.

Так как функция является непрерывной в точке а, то последовательность является сходящейся к пределу b, поскольку функция является непрерывной в точке b, то соответствующая последовательность значений сходится к числу .

Таким образом показали что для рассмотренной сходящейся последовательности , предел который равен а, соответствует последовательность сходятся к числу .

Обратная функция и её непрерывность.

Теорема: Пусть функция возрастает(убывает) на . И ()- множества значений этой функции. Тогда на () определена обратная функция , которая также возрастает(убывает) и непрерывна, в случае непрерывности функции на .