Формула среднего значения

Теорема: пусть функции и интегрируемы на отрезке [a,b], причем -неотрицательная (неположительная), m, М-точки нижняя и верхняя грани функции на отрезке [a,b], тогда найдется число , удовлетворяющее неравенству , что будет справедливо выражение: = . Если функция -непрерывна, то выражение (1) можно переписать в виде: =

Соотношение (2) вытекает из отношения (1) поскольку непрерывная функция на отрезке [a,b] достигает своих промежуточных значений. Поэтому необходимо доказать соотношение (1).

Доказательство: функция удовлетворяет неравенству , для всех точек из отрезка [a,b] рассмотрим случай, когда функция неотрицательна, тогда имеем следующее неравенство , причем - функции интегрированные на отрезке [a,b]. Согласно второй оценке имеет место неравенство

:

Так как функция -неотрицательная, то при рассмотренных выше неравенстве необходимо различать 2 случая.

1) , 2)

В первом случае получим, что: , этот интеграл равен нулю и справедливость формулы (1) очевидна.

Во втором случае неравенство можно переписать в виде: , для получения формулы (1) обозначим в качестве величину.,

Теорема доказана.

Если функция тождественно равна 1 на отрезке [a,b], то формулу (2) можно переписать в виде: =

где - некоторая внутренняя точка принадлежащая отрезку [a,b]. Формула (3) имеет наглядный геометрический смысл.

площадь криволинейной трапеции. -площадь прямоугольника. Площадь криволинейной трапеции можно прировнять к площади прямоугольника, с тем же основанием и высотой равной значению функции в некоторой точки отрезка [a,b].