Вычисление длины кривой в полярной системе координат

Кривая в полярной системе координат определяется уравнением: , где , учитывая связь между полярными и декартовыми координатами, уравнение кривой можно записать параметризацию:

, .

Используя определение длины кривой заданной параметрически, найдем выражение для длины кривой, заданной в полярной системе координат.

,

+ = + =

длина дуги кривой в полярной системе координат определяется интегралом

ВОПРОС

Вычисление площадей плоских фигур

Если функция , определена и интегрируема на отрезке , причем на этом отрезке, то площадь криволинейной трапеции определяется определенным интегралом. . Если функция отрицательна на отрезке

, то . Если функция принимает как положительные так и отрицательные значения, то для определения площади криволинейной трапеции в обычном смысле, необходимо разбить отрезок , на части, оответствующие участкам знакопостоянства функции . Площадь криволинейной трапеции будет выражена: . Если требуется вычислить площадь области ограниченной двумя кривыми и на отрезке . Причем , то достаточно представить искомую площадь в виде разности площадей двух криволинейных трапеций.

в случае более сложных областей, искомую площадь разбивают на части и каждую часть рассчитывают по отдельности.

,

Вычисление площади криволинейной трапеции заданной в параметрической форме

, ,

Эллипс-фигура симметричная по всем осям, для вычисления достаточно заштрихованную часть.

Площадь криволинейного сектора

Положение точки на плоскости определяется парой чисел:

Если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а ось х совпадает с лучом, то между декартовой и полярной системами координат, существует связь. Находясь в полярной системе координат, получим выражение для площади сектора.

-некоторый радиус-вектор, соответствующий углу ,

рассмотрим круговой сектор с радиусом и центральным углом . Площадь кругового сектора равна:

=

дает площадь ступенчатого сектора.

Выписанный интеграл считается:

ВОПРОС

Оценки интеграла.

1.Если функция интегрируема на отрезке и неотрицательна во всех точках этого отрезка, то интеграл. .

Доказательство: Для доказательства 1-ой оценки заметим, что интегральная сумма:

Необходимо показать, что определённый интеграл также будет неотрицательным. Проведём доказательство методом от противного. Обозначим определённый интеграл:

, предположим, что I<0 , тогда, согласно определению предела, найдется такое разбиение отрезка , то будет выполняться неравенство:

Полученное неравенство возможно только в случае отрицательной интегральной суммы А, так как интегральная сумма не может быть отрицательной, то получим противоречие доказывающее первую оценку.

2.Если функции и интегрируемы на отрезке [a,b] и во всех точках этого отрезка выполняется неравенство , то справедливо неравенство:

Доказательство: согласно условию - 0, и по первой оценке получаем, что . Используя первое свойство определенного интеграла, получаем

что - , откуда вытекает доказываемая оценка