Площадь поверхности тела вращения

Рассмотрим тело, получаемое вращением криволинейной трапеции.

Будем предполагать, что функция непрерывная и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка . Разобьём кривую на точки и проведем хорды . Длины хорд обозначим через . Каждая хорда длины при вращение опишет усеченный конус, площадь поверхности которого:

, где

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, следовательно, на отрезке существует точка такая, что , следовательно площадь поверхности усеченного конуса может быть представлена в виде: .

Площадь поверхности, образованная всеми усеченными конусами, определяется:

Принято считать, что площадь поверхности тела вращения определяется пределом:

(3)

Таким образом необходимо вычислить предел (3)

- интегральная сумма

, где и - бесконечно малая величина при . Подставляя выражение и в (3), получаем:

Величина первого предела определяется определенным интегралом:

Сумма двух бесконечно малых величин представляет собой бесконечную малую величину, поэтому второй предел можно представить в виде:

, где - бесконечно малая величина.

Оценим выражение, стоящее под знаком второго предела. По определению бесконечно малой величины для положительной величины найдется такое положительное число б, что для всех величин будет выполняться неравенство: .Следовательно,

Таким образом показали, что второй предел равен нулю при и при стремлении диаметра разбиения к 0. Таким образом, площадь поверхности тела вращения при сделанных ограничениях на функцию определяется выражением:

.

ВОПРОС

Длина дуги прямой в декартовой прямоугольной системе координат.

на отрезке , где функция - непрерывна на отрезке и обладает непрерывной производной.

Соединим выбранные точки хордами, получим ломаную линию, вписанную в дугу .

, определён (4)

Покажем, что предел 4 существует и что

Рассматриваемая функция удовлетворяет всем условиям теоремы Логранжа: - длина всей ломанной определяется суммой .

Выделенную сумму можно рассматривать как интегральную сумму на отрезке , функция стоящая под знаком суммы также будет непрерывной и следовательно определена определённым интегралом.

(5)