Розв’язання. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі

Функція визначена і неперервна на всій числовій осі.

Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат. При перетині з віссю Ох () маємо рівняння , звідки або . Отже, графік функції перетинає вісь Ох у точках та . З метою визначення точок перетину графіка з віссю Оу покладемо . Маємо . Графік функції проходить через початок координат та точку .

Функція не є ні парною, ні непарною, бо , що не дорівнює ні , ні .

Знайдемо проміжки знакосталості функції: для усіх та для усіх .

Визначимо проміжки монотонності і знайдемо точки екстремуму функції. Для всіх и маємо

Рівняння має єдиний розв’язок , тому стаціонарна точка . Похідна не існує в точках та , отже, критичні точки , , .

Оскільки для і для , то функція зростає на проміжках та спадає на проміжку .

У точці функція досягає мінімуму . У точці функція досягає максимуму .

Зведемо одержані результати у таблицю

	+	Не існує	–		+	Не існує
		Локальний максимум		Локальний мінімум

Визначимо проміжки опуклості і точки перегину функції. Для та маємо

.

Для , тому функція опукла вниз на та . Для , тому функція опукла вверх на . При переході через точку друга похідна змінює знак і при цьому не існує, тому точка є точкою перегину графіка функції.

Складемо ще одну таблицю.

	+	Не існує	+	Не існує	–
				Точка перегину

Вертикальних асимптот графік функції не має, бо функція визначена та неперервна при всіх значеннях аргументу. Рівняння похилих асимптот будемо шукати у вигляді , де

, ,

причому знак “+” беремо для правосторонньої, а “–” для лівосторонньої асимптоти. Знайдемо спочатку рівняння правосторонньої похилої асимптоти. Для цього обчислимо и :

;

.

Рівняння правосторонньої асимптоти . Для лівосторонньої асимптоти також та , отже її рівняння .

За даними дослідження будуємо графік функції.