Приклад 17

Знайти наближено суму ряду із точністю до .

Розв’язання

Оскільки даний ряд – знакопереміжний, збіжний то величина відкинутого при обчисленні залишку ряду, який також є знакопереміжним рядом, не перевищує модуля свого першого члена (на основі зауваження 2 до ознаки Лейбніца). Потрібне число визначимо шляхом підбору із нерівності . При остання нерівність виконується. Тобто, якщо відкинути в даному ряді всі члени, починаючи з шостого, то похибка за модулем не перевершує модуля шостого члена. Отже, знайдемо наближено суму даного ряду, замінивши її частковою сумою шести перших членів. Маємо:

.

6. Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду

Ряди (6.1), членами яких є не числа, а функції, визначені в деякій області визначення аргументу х, називають функціональними.

Для кожного значення х₀ з області визначення функцій функціональний ряд перетворюється в числовий ряд:

. (6.2)

Якщо цей ряд збіжний, точку х ₀називають точкою збіжності функціонального ряду. Множину всіх точок збіжності функціонального ряду називають його областю збіжності.

Степеневим рядом є функціональний ряд, який має вигляд:

(6.3),

де а – стала, – числа, що мають назву коефіцієнтів степеневого ряду.

Якщо , степеневий ряд набуває вигляду:

. (6.4)

Степеневий ряд завжди збіжний при .

Якщо ряд збігається в точці , тоді існує число , таке, що для всіх степеневий ряд збігається, для всіх – розбігається. Інтервал називають інтервалом збіжності, а половину його довжини, число R – радіусом збіжності.

Областю збіжності степеневого ряду є інтервал , до якого, залежно від конкретних випадків, можна додати кінцеві точки та . В кожній точці інтервалу ряд збігається абсолютно. Якщо степеневий ряд збігається для всіх значень х, вважають , якщо ж він збігається тільки для , вважають .

Інтервал збіжності можна знаходити, застосовуючи ознаку Даламбера, або ознаку Коші до ряду, складеного з абсолютних величин членів вихідного ряду.

Записавши ряд (6.3) у вигляді:

, (6.5)

та розглянувши ряд, складений з абсолютних значень членів ряду (6.5), який має вигляд:

, (6.6)

знаходять інтервал збіжності з нерівностей: (6.7) або (6.8)