Приклад 14

Дослідити збіжність ряду .

Розв'язання

Цей ряд має члени з вільним розподілом знаків. Розглянемо ряд із модулів членів досліджуваного ряду: . Застосуємо до нього ознаку порівняння, маючи на увазі, що .

Оскільки ряд збігається, то збігається також ряд , а, значить, досліджуваний ряд збігається абсолютно.

Зауваження. Збіжність ряду є достатньою ознакою збіжності рядів із вільним розподілом знаків.

5. Знакопереміжні ряди. Теорема Лейбніца

Означення 6. Знакопереміжним називається ряд, який має такий вигляд: , де (5.1)

Знакопереміжний ряд є окремим випадком числового ряду з довільними членами.

Теорема 7 (Ознака Лейбніца)

Якщо в ряді (5.1) члени за модулем монотонно спадають і , то він збігається, причому його сума за модулем не перевищує абсолютної величини першого члена, а залишок його за модулем не перевершує абсолютної величини першого відкинутого члена.