Приклад 20

Знайти область збіжності ряду .

Розв’язання

Використаємо ознаку Коші. Знайдемо .

Зрозуміло, що умова виконується тільки якщо х=5, тобто ряд збігається якщо х=5, тоді радіус збіжності R=0.

7. Розклад функцій в степеневі ряди.Ряд Тейлора

Якщо функція f (x) в деякому інтервалі, що містить точку а, має похідні всіх порядків, тоді для неї можна застосувати формулу Тейлора.

(7.1)

де (а с х, n ) – залишковий член ряду.

Якщо в цьому ж інтервалі виконується умова , тоді функцію можна розкласти в ряд Тейлора для значення х, що розглядається:

(7.2)

Якщо а = 0, отримаємо ряд Маклорена:

(7.3)

Для виключення процесу багаторазового диференціювання при розкладанні деяких функцій в ряд Тейлора можна використовувати готові розклади основних елементарних функцій з комбінуванням правил додавання, віднімання та множення рядів.

Наведемо розклади в ряд Маклорена основних функцій.

(7.4)

(7.5)

(7.6)

(7.7)

(7.8) (7.9)

. (7.10)

8. Використання степеневих рядів для наближених обчислень