Приклади 22-23

Знайти розклад у степеневий ряд по степенях х розв’язок диференціального рівняння.

22.

Розв’язання

Розв’язок будемо шукати у вигляді ряду Тейлора:

Оскільки в нашій задачі , отримаємо розв’язок у вигляді:

.

Знайдемо коефіцієнти степеневого ряду. Підставляючи в диференціальне рівняння початкові умови, отримуємо, що . Продиференціювавши рівняння, знаходимо:

Таким чином:

Використавши перетворення та розклад у степеневий ряд функції , маємо: .

23. .

Розв’язання

Розв’язок диференціального рівняння матиме вигляд:

Знаходимо коефіцієнти степеневого ряду:

, , ;

.

Таким чином,

ІІІ. Завдання для самостійної роботи

Довести збіжність ряду за означенням і знайти його суму:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Дослідити на збіжність ряди:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) ; з) .

За допомогою інтегральної ознаки Коші дослідити на збіжність ряди:

а) ; б) ; в) .

Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряди:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

з) .

Знайти суму ряду з похибкою до .

Скільки перших членів ряду потрібно взяти, щоб їх сума відрізнялась від суми ряду на величину, меншу, ніж .

Знайти область збіжності функціонального ряду.

Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, використавши розклад підінтегральної функції в ряд.

Знайти розклад в степеневий ряд розв’язок диференціального рівняння:

IV. Завдання для контрольної роботи

Завдання 1

Дослідити збіжність ряду, скориставшись означенням, та знайти його суму, якщо він збігається.

Варіанти завдань:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ; 31. 32.

33. ; 34.