Приклад 16

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд .

Розв’язання

Даний ряд – знакопереміжний. Він задовольняє умовам теореми Лейбніца: його члени за абсолютною величиною спадають, коли зростає, і, крім того, .

Таким чином, цей ряд за теоремою Лейбніца збігається. З'ясуємо тепер, як збігається даний ряд: абсолютно чи умовно. Для цього розглянемо ряд із модулів членів досліджуваного ряду: . Враховуючи, що при , а ряд розбіжний, робимо висновок, що ряд також розбігається. Таким чином, даний ряд збігається умовно.

Дуже важливим для наближених обчислень є твердження в теоремі Лейбніца про те, що залишок за модулем не перевершує модуля свого першого члена.