Невласні інтеграли першого і другого роду. Поняття про кратні інтеграли

І. Розглянемо інтеграли з нескінченними границями, або невласні інтеграли першого роду.

Нехай , а функція неперервна. Якщо існує скінченна границя , то вона називається невласним інтегралом від на проміжку і позначається так: . Отже, .

Якщо при не має скінченої границі, то говорять, що не існує (або розбігається).

Якщо , то геометрично це площа нескінченної фігури, обмеженої лініями та віссю (рис.1).

Рис. 1. Геометричний зміст невласного інтегралу 1-го роду.

Аналогічно вводять означення таких інтегралів:

.

Наприклад. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) б)

Розв'язування. а) ; (інтеграл збігається до 1);

б) (інтеграл розбіжний).

Невласний інтеграл першого роду має такі властивості:

1) Якщо збігається то збігається також , і навпаки. При цьому

2) Якщо збігається, то

3) Якщо збігається, то і збігається, причому

.

4) Якщо збігаються обидва інтеграла і , то збігається інтеграл

причому

Для збіжності невласного інтеграла у випадку додатної функції необхідно і достатньо, щоб інтеграл при зростанні А залишався обмеженим зверху:

Для інтегралів від додатних функцій має місце теорема порівняння: якщо при має місце нерівність , то із збіжності інтегралу випливає збіжність інтегралу (або, що те ж саме, із розбіжності інтегралу випливає розбіжність інтегралу ).