Формула Ньютона-Лейбніца

На основі наведених властивостей можна легко довести теорему про похідну від інтеграла із змінною верхньою межею: якщо функція неперервна на проміжку , похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції: .

Дійсно, згідно з властивістю 6) визначеного інтеграла, маємо:

.

Отже, .

Використовуючи теорему про середнє до інтеграла , отримаємо: . Таким чином, . Отже, . Але коли то . Це означає, що , що і потрібно було довести.

На основі доведеної теореми легко можна довести знамениту формулу Ньютона-Лейбніца: якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції , то

.

Дійсно, якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції , то, оскільки – також її первісна, маємо:

, де – стала.

Для визначення цієї сталої покладемо в останній рівності

або Звідси одержуємо: . Таким чином, . Підставивши одержуємо формулу Ньютона-Лейбніца, яка встановлює зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами. Цю формулу записують ще так:

Наприклад

Для знаходження визначених інтегралів користуються методом заміни змінної та методом інтегрування по частинах.

Так, для обчислення інтеграла , де , можна ввести нову змінну за формулою: . Якщо:

а)

б) неперервні при ;

в) – визначена і неперервна функція на відрізку , то має місце формула:

.

Наприклад, .

При потребі користуються формулою інтегрування по частинах:

Наприклад.

.