Знаходження довжини дуги

Важливим геометричним застосуванням визначеного інтеграла є знаходження довжини дуги кривої лінії:

Нехай крива задана рівнянням . Знайдемо довжину дуги
(рис. 8).

Рис. 8. Дуга кривої .

Що ж таке довжина дуги? Щоб дати означення цього поняття, виберемо на дузі точки та з’єднаємо їх хордами. Довжини цих хорд позначимо відповідно . довжина ламаної, вписаної в такий спосіб, дорівнює: .

Довжиною дуги називається границя, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої ланки прямує до нуля: .

Нехай та – неперервні функції при . Очевидно, . Використовуючи теорему Лагранжа маємо: де .

Отже, , а . Перейшовши до границі при одержимо: .

Якщо ж крива задана параметричними рівняннями , причому , то в останньому інтегралі слід виконати підстановку . Нехай . Одержуємо: , або остаточно

Можна довести, що для просторової кривої, заданої параметричними рівняннями , має місце аналогічна формула

(якщо та – неперервні функції).

Якщо лінія задана в полярній системі координат рівнянням , то, враховуючи формулу переходу від полярних до декартових координат , одержуємо параметричні рівняння кривої. Оскільки маємо: і .

Наприклад. Знайти довжину дуги кардіоїди .

Розв'язування. Побудуємо графік цієї кривої в полярній системі координат (рис. 7).

0 Р

Рис. 9. Кардіоїда

Враховуючи симетричність графіка відносно полярної осі, а також те, що , маємо:

.