Обчислення площі

Як зазначалося раніше, за допомогою визначеного інтеграла можна знаходити площу криволінійної трапеції, обмеженої неперервною при функцією (при ), прямими , та віссю . Якщо , то , і (рис. 1).

0

Рис. 3. Площа .

Якщо – знакозмінна функція при , то . Для знаходження площі у випадку, представленому на рис. 4, користуються формулою: .

₀

Рис. 4. Площа .

Якщо крива задана в параметричній формі , де , причому , , то, виконавши у формулі заміну , одержимо

(при цьому припускається, що та ) – неперервні функції при .

Наприклад. Знайти за допомогою інтеграла площу чверті круга (рис. 5).

1

х

Рис.5. Чверть круга .

Розв'язування. Параметричні рівняння кола мають вигляд: . Площа чверті круга, розміщеного в першій координатній чверті, визначається за формулою:

.

Виконавши обчислення, одержимо:

(кв. од.)

Зауважимо, що цю площу можна знайти за допомогою інтеграла .

Розглянемо питання про визначення площі криволінійного сектора в полярних координат (рис.6).

Рис. 6. Криволінійний сектор ОАВ.

Нехай – неперервна функція при . Криволінійний сектор ОАВ обмежений променями та . Щоб знайти його площу, скористаємося основною ідеєю інтегрального числення: розіб’ємо дану площу на частин . На участку вибираємо та обчислюємо .

Апроксимуємо -тий участок розбиття круговим сектором з радіусом та центральним кутом . Його площа . Складемо інтегральну суму та перейдемо до її границі при . З одного боку, при цьому одержуємо площу криволінійного сектора , а з іншого – визначений інтеграл .

Наприклад, площа фігури, утвореної одним витком спіралі Архімеда при (рис. 7), дорівнює: (кв. од.).

0

Р

Рис. 7 Виток спіралі Архімеда при