![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Розглянемо інтеграл виду Цей інтеграл за допомогою універсальної тригонометричної підстановки
зводиться до інтеграла від раціональної функції.
Дійсно, маємо:
Таким чином, інтеграл
раціонально виражається через
.
Наприклад.
В деяких випадках більш доцільно користуватися не універсальною тригонометричною підстановкою (якщо вона призводить до громіздких виразів під знаком інтеграла), а іншими методами.
1) Інтеграл виду зручно знаходити за допомогою тригонометричної підстановки
Тоді
і ми одержуємо
2) Аналогічно задача знаходження інтеграла виду розв’язується шляхом введення підстановки
3) Щоб перейти від інтеграла до інтеграла від раціональної функції, досить виконати підстановку
Дійсно при цьому
і ми одержуємо інтеграл від раціональної функції виду
4) Якщо та
містяться під знаком інтеграла
лише в парних степенях, то доцільною є підстановка
При цьому
.
5) Розглянемо інтеграл виду (
– цілі числа). Можливі такі випадки:
6) Хоч одне з чисел непарне. Проілюструємо хід міркувань на такому прикладі.
Таким чином, ввівши підстановку приходимо до інтеграла від раціональної функції.
7) Числа, – невід’ємні і парні.
Доречно скористатися відомими формулами тригонометрії.
Наприклад. Знайдемо інтеграл .
Маємо:
.
8) Числа і
парні, але хоча б одне з них – від’ємне.
В цьому випадку зручно скористатися заміною або
.
9) Інтеграли виду та
легко знайти, якщо перетворити підінтегральні добутки в суми:
,
Зауваження. Будь-яка неперервна на деякому інтервалі функція має на цьому інтервалі первісну, але не всяка первісна виражається через елементарні функції в скінченому вигляді. Це стосується, наприклад, таких інтегралів:
та ін.
Для практичних застосувань складають таблиці значень таких функцій при різних . Наприклад, в курсі теорії ймовірностей та математичної статистики ми будемо зустрічатися з функцією Лапласа
та користуватимемося таблицею значень цієї функції при різних
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 715 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!