Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо інтеграл виду Цей інтеграл за допомогою універсальної тригонометричної підстановки зводиться до інтеграла від раціональної функції.

Дійсно, маємо:

Таким чином, інтеграл раціонально виражається через .

Наприклад.

В деяких випадках більш доцільно користуватися не універсальною тригонометричною підстановкою (якщо вона призводить до громіздких виразів під знаком інтеграла), а іншими методами.

1) Інтеграл виду зручно знаходити за допомогою тригонометричної підстановки Тоді і ми одержуємо

2) Аналогічно задача знаходження інтеграла виду розв’язується шляхом введення підстановки

3) Щоб перейти від інтеграла до інтеграла від раціональної функції, досить виконати підстановку Дійсно при цьому і ми одержуємо інтеграл від раціональної функції виду

4) Якщо та містяться під знаком інтеграла лише в парних степенях, то доцільною є підстановка При цьому .

5) Розглянемо інтеграл виду ( – цілі числа). Можливі такі випадки:

6) Хоч одне з чисел непарне. Проілюструємо хід міркувань на такому прикладі.

Таким чином, ввівши підстановку приходимо до інтеграла від раціональної функції.

7) Числа, – невід’ємні і парні.

Доречно скористатися відомими формулами тригонометрії.

Наприклад. Знайдемо інтеграл .

Маємо: .

8) Числа і парні, але хоча б одне з них – від’ємне.

В цьому випадку зручно скористатися заміною або .

9) Інтеграли виду та легко знайти, якщо перетворити підінтегральні добутки в суми:

,

Зауваження. Будь-яка неперервна на деякому інтервалі функція має на цьому інтервалі первісну, але не всяка первісна виражається через елементарні функції в скінченому вигляді. Це стосується, наприклад, таких інтегралів:

та ін.

Для практичних застосувань складають таблиці значень таких функцій при різних . Наприклад, в курсі теорії ймовірностей та математичної статистики ми будемо зустрічатися з функцією Лапласа та користуватимемося таблицею значень цієї функції при різних .