Визначений інтеграл та його геометрична інтерпретація

Нехай функція неперервна на проміжку : . Нехай і – найменше та найбільше її значення на цьому відрізку. Відрізок розіб’ємо на частин точками та позначимо:

Найменше та найбільше значення функції на відрізку відповідно позначимо та . Складемо дві суми:

та

.

Ці суми називаються відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу.

Відзначимо такі властивості нижніх і верхніх інтегральних сум.

оскільки при всіх .

Введемо поняття про інтегральну суму для функції . Візьмемо в кожному відрізку точку так, що . Обчислимо значення функції в цих точках та складемо суму

Це – інтегральна сума для функції . Яке б не було , так що і, значить, Сума залежить від способу розбиття проміжку на відрізки та від вибору точок . Неважко уявити собі розбиття проміжку на елементарні участки за допомогою більшого числа точок, причому такого, щоб величина при цьому зменшилася. Нехай та .

Якщо при будь-якому діленні відрізка такому, що і при довільному виборі точок сума прямує до однієї й тієї ж самої границі , то говорять, що функція інтегрована на відрізку , а границю називають визначеним інтегралом від на і позначають :

Число називають нижньою межею інтеграла, – його верхньою межею. Проміжок називають відрізком інтегрування, а – змінною інтегрування.

Можна довести, що коли функція неперервна на проміжку , то вона на цьому проміжку інтегрована.

Геометричний зміст визначеного інтеграла стає зрозумілим, коли зауважити, що

,

Нехай . Інтеграл чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою та прямими і віссю .

За означенням приймається, що коли то і що .