Наприклад. Інтеграл – абсолютно збіжний інтеграл, оскільки , а – збіжний інтеграл (читачеві рекомендується перевірити це самостійно)

ІІ. Узагальнимо поняття визначеного інтегралу на випадок розривної підінтегральної функції.

Припустимо, що функція визначена і неперервна при , а при ця функція або не визначена, або терпить розрив. У цьому випадку не можна визначити інтеграл як границю інтегральної суми. За означенням, покладають:

(рис.2).

Якщо границя, що стоїть справа, існує, то інтеграл називається невласним збіжним інтегралом другого роду (в противному випадку – розбіжним).

⁰

Рис. 2. Невласний інтеграл другого роду.

Якщо функція розривна при , то, згідно з означенням, .

У випадку, коли функція розривна всередині відрізка , при , то , якщо обидва інтеграли справа існують.

Наприклад. (інтеграл розбіжний).

У випадку невласного інтегралу другого роду від додатної функції для його збіжності необхідно та достатньо, щоб при всіх виконувалася нерівність: .

Для невласного інтегралу 2-го роду має місце теорема порівняння, аналогічна сформульованій вище для невласних інтегралів 1-го роду, а також твердження про збіжність інтегралу від знакозмінної функції при умові збіжності інтегралу .

Кратні інтеграли. Подвійні і потрійні інтеграли – це узагальнення поняття визначеного інтегралу на інтеграл по плоскій області (частині площини) та на інтеграл по об’ємній замкненій області. Обчислення подвійних інтегралів зводиться до двохкратного інтегрування, а потрійних – до трьохкратного інтегрування. При вивченні теми «Кратні інтеграли» слід звернути особливу увагу на поняття правильної двохвимірної (та правильної трьохвимірної) областей, на порядок розстановки меж інтегрування, на правила заміни змінних при інтегруванні.