Властивості визначеного інтеграла

Визначений інтеграл має властивості, які можна сформулювати за допомогою знаків рівностей або нерівностей.

1) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

Дійсно,

2) Визначений інтеграл від алгебраїчної суми кількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків.

Це дійсно так, оскільки (Властивості 1) і 2) вірні і при , і при .)

2) Якщо при , то .

Це дійсно так, оскільки

. Значить, , що і потрібно було довести.

4) Якщо і – найменше і найбільше значення функції при , то

.

Ця властивість випливає з попередньої, якщо врахувати, що і що , а .

5) Якщо функція неперервна на проміжку , то існує таке число

, що . (Цю властивість називають теоремою про середнє).

Дійсно, нехай . За попередньою властивістю одержуємо:

, або , де . Оскільки функція неперервна на , вона приймає на цьому проміжку всі свої проміжні значення між і . Отже, існує таке значення , при якому , тобто .

6) Для будь-яких трьох чисел має місце рівність:

(якщо всі три інтеграла існують).

Дійсно, якщо, скажімо, то, складаючи інтегральну суму для функції на , вибираємо точку однією з точок поділу. Маємо:

.

Перейдемо до границі при і одержуємо потрібну властивість, якщо ж , то , або

.

Аналогічно розглядаються інші способи взаємного розміщення точок і .