Підстановки Ейлера

Інтеграли виду зводяться до інтегралів від дробово-раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.

1) У випадку, коли можна виконати підстановку

Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрату:

звідки Як бачимо, – раціональна функція відносно . Очевидно, – також раціональна функція відносно , а слід представити як тобто теж через раціональну функцію відносно .

2) У випадку, коли , доцільно виконати таку підстановку:

Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрату:

та визначимо :

Пересвідчуємося, що та раціонально залежить від . При цьому – останній вираз раціонально залежить від .

3) Якщо та – дійсні корені рівняння так що то, виконавши підстановку

,

одержуємо: Звідси визначаємо, що і приходимо, як і раніше, до висновку, що а також раціонально залежить від .

Зауваження.

Оскільки , то

У випадку, коли інтеграл зводиться до виду можна застосувати тригонометричну підстановку

Якщо інтеграл зводиться до виду доцільно використати підстановку І нарешті, беруть за допомогою тригонометричної підстановки (або ).

Наприклад. Розглянемо Якщо скористатися, наприклад, другою підстановкою Ейлера одержуємо:

Отже, або Звідси маємо:

Визначаємо :

Зауважимо, що

Інтеграл зводиться до інтеграла від дробово-раціональної функції:

На жаль, інтеграл вимагає досить громіздких викладок (з використанням найпростіших дробів четвертого типу). Тому доцільно спробувати іншу підстановку – скажімо, Тоді отримаємо: .