Інтегрування диференціальних біномів

Інтеграл від диференціального бінома ( – раціональні числа, – сталі) зводиться до інтеграла від раціональної функції і, отже, виражається через елементарні функції в таких трьох випадках:

а. – ціле число (тобто додатне, від’ємне ціле число чи число нуль);

б. – ціле число;

в. – ціле число.

У всіх інших випадках, як довів Чебишев, інтеграл не може бути виражений через елементарні функції.

Якщо – ціле число, то ситуація зводиться до розглянутого вище випадку І в п. 1 даної лекції. Якщо – ціле число, то слід виконати заміну змінних , де – знаменник числа . Якщо ж – ціле число, то слід виконати заміну змінних ( – знаменник числа ).

Наприклад. Знайти інтеграл

Розв’язок. Тут Ми зустрічаємося, з тією ситуацією, коли – ціле число. Отже, виконуємо заміну Звідси отримаємо: Отже, а це – простий інтеграл від раціональної функції. Маємо: