Інтегрування найпростіших ірраціональностей

Інтеграл від будь-якої раціональної функції виражається через елементарні функції – через раціональні функції, логарифми та арктангенси. Інтеграл від ірраціональної функції не завжди можна виразити через елементарні функції. Нижче будуть розглянуті випадки, коли за допомогою тієї чи іншої підстановки задача інтегрування ірраціональних чи трансцендентних функцій зводиться до інтегрування дробово-раціональних функцій і, отже, вирішується за допомогою елементарних функцій.

1. Розглянемо інтеграл виду де – раціональна функція своїх аргументів, а – сталі числа. Знайдемо спільний знаменник дробів та позначимо його . Виконавши підстановку , одержимо інтеграл від раціональної функції відносно .

Наприклад.

2. Аналогічно інтегруються вирази виду

( – сталі числа).

Нехай – спільний знаменник дробів Виконавши підстановку одержимо інтеграл від дробово-раціональної функції.

Наприклад. Звести інтеграл до інтеграла від дробово-раціональної функції.

Розв’язок. Виконаємо заміну змінних Звідси

Отже,