Інтегрування дробів

Для інтегрування раціональних дробів перш за все перевіряють, правильний дріб чи ні. Якщо дріб неправильний, потрібно виділити цілу частину та правильний дріб, шляхом ділення чисельника на знаменник. Ціла частина – це многочлен, який легко інтегрується. Дробову ж частину записують у вигляді суми найпростіших раціональних дробів і інтегрують.

Зупинимося детально на інтегруванні дробів 1- го, 2- го, 3- го та 4- го типів

I.

II.

III.

IV. Покажемо, як можна зменшити на одиницю при інтегруванні виразів виду

Останній інтеграл представимо як суму двох інтегралів: та В першому інтегралі слід виконати заміну змінних при цьому інтеграл зводиться до табличного і легко інтегрується. В другому інтегралі слід виділити повний квадрат в знаменнику: , де

Перетворюємо останній інтеграл:

.

В передостанньому інтегралі знаменник містить тобто показник степеня зменшився на одиницю. Останній інтеграл доцільно інтегрувати по частинах:

Інтегруючи по частинах, маємо:

Отже, показник степеня в знаменнику ми зменшили на одиницю. Таким способом можна зменшити його аж до одиниці та одержати табличний інтеграл.

Розглянемо приклади на інтегрування раціональних дробів.

Приклад №1. Знайти

Розвязування. Оскільки дріб неправильний, поділимо чисельник на знаменник; таким чином,

Приклад №2. Знайти

Розв'язування. Представимо правильний підінтегральний дріб у вигляді суми найпростіших дробів:

Маємо:

Система для визначення

.

Розв’язуючи її, одержуємо:

Отже,