Інтегрування раціональних дробів

1. Розкладання многочленів на множники.

Нагадуємо, що функція де – ціле додатне число, називається многочленом (поліномом) або цілою раціональною функцією від х. Число називається степенем многочлена. При цьому – дійсні або комплексні сталі числа, – дійсна або комплексна змінна.

Рівняння виду де – многочлен - го степеня, називається алгебраїчним рівнянням -го степеня.

Основна теорема алгебри стверджує, що всяке алгебраїчне рівняння степеня >0 має хоча б один корінь, дійсний або комплексний.

Представимо у вигляді

(тут многочлен, а – залишок від ділення на ). При виконується умова: Таким чином, залишок від ділення многочлена на двочлен при дорівнює значенню цього многочлена (теорема Безу).

Якщо тобто є коренем многочлена, то і Тут – многочлен степеня старший коефіцієнт якого дорівнює . Якщо цей многочлен не є тотожно сталою, то до нього можна знову застосувати основну теорему алгебри. Якщо – корінь рівняння то Продовжуючи цей процес, одержуємо: Якщо кратність кореня кореня кореня то

Отже, алгебраїчне рівняння - го степеня має коренів (якщо кожен корінь рахувати стільки разів, яка його кратність).

Якщо коефіцієнти многочлена – дійсні числа і комплексне число є коренем многочлена , то спряжене йому, число також є коренем многочлена. Зауважимо, що зручно об’єднувати співмножники виду

. Таким чином, многочлен можна розкласти на лінійні та квадратичні співмножники:

Якщо два многочлена рівні один одному при будь-яких значеннях , то рівня їх степені та рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях: якщо

,

то

Зауваження. Для випадків, коли рівняння розв’язуються за формулами, відомими з шкільного курсу математики. При та також існують загальні формули розв’язування таких рівнянь – формули Кардано і Феррарі. Доведено, що при не існує формул для розв’язування рівнянь в радикалах.

2. Розкладання раціональних дробів на найпростіші

Нехай многочлени та не мають спільних коренів. Раціональним дробом називається відношення двох многочленів

Якщо степінь чисельника менше степені знаменника, тобто то дріб називається правильним, якщо ж – неправильним.

У випадку неправильного дробу чисельник ділять на знаменник та представляють даний дріб у вигляді суми многочлена та деякого правильного дробу:

Після цього правильний нескоротний дріб розкладають на найпростіші раціональні дроби.

Правильні раціональні дроби виду

I.

II. ( ціле число);

III.

IV. називається найпростішими дробами І, ІІ, ІІІ, ІV типів.

Має місце

Теорема 1. Нехай корінь знаменника кратності , тобто де

Тоді даний правильний нескоротний дріб можна представити у вигляді суми двох інших правильних дробів в такий спосіб:

де – відмінне від нуля стале число, а – многочлен, степінь якого менше степеня знаменника .

Для доведення теореми 1 представимо дріб

Підберемо А так, щоб різниця ділилася на Згідно з теоремою Безу, для цього необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

Звідси визначаємо: Значить, саме при такому значенні А будемо мати: . Це і доводить теорему 1.

Цю ж саму теорему 1 можна застосувати до виразу . Оскільки – корінь кратності , одержимо:

де – правильний нескоротний дріб. Має місце

Теорема 2. Якщо причому не ділиться на то правильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми двох інших правильних дробів у такий спосіб:

де – многочлен, степінь якого менше степеня многочлена , а і – сталі.

Із теореми 1 і 2 випливає такий важливий для практичних застосувань

Висновок. Якщо то дріб можна представити у вигляді

Для визначення невизначених коефіцієнтів вираз справа зводять до спільного знаменника, після чого (в чисельниках) прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях х зліва і справа. Одержується система для визначення невідомих сталих.

Наприклад. Представити дріб у вигляді суми найпростіших дробів.

Розв’язування. Згідно з висновком з теорем 1 і 2, маємо:

.

Звідси одержуємо:

Прирівнюємо коефіцієнти при та вільні члени зліва і справа одержуємо:

.

Розв’язавши систему, маємо:

Таким чином,

Зауваження. Для того, щоб одержати систему для визначення можна скористатися методом коллокації, який полягає в тому, який полягає в тому, що рівняння

розписують при чотирьох (по кількості невідомих фіксованих) значеннях змінної х (наприклад, при ):

.

Розвязуючм систему, одержуємо такий самий розв'язок, як і раніше.