Незалежність виду невизначеного інтеграла від вибору аргументу

Має місце незалежність невизначеного інтеграла від вибору аргументу, так що таблиця інтегралів вірна не тільки тоді, коли – незалежна змінна, але і у випадку, коли замість фігурує неперервно диференційована функція . Таким чином, якщо то що перевіряється безпосереднім диференціюванням.

На підставі цієї властивості одержується узагальнена таблиця найпростіших інтегралів, в якій, скажімо, перша формула має вигляд

1.

де – будь-яка неперервно диференційована функція від незалежної змінної.

Наприклад.

№1.

Тут і ми користуємося “табличною” формулою

№2.

Відзначимо такі корисні для інтегрування властивості диференціала

1)	2)
3)	4)
5)	6)

Наведемо ще деякі приклади.

№3 .

№4

№5. .

№6

№7.

5. Інтегрування методом заміни змінної (способом підстановки) та по частинах

Існує два основних методи інтегрування – метод заміни змінних (спосіб підстановки) а) та метод інтегрування по частинах б).

а) Нехай потрібно знайти який не є табличним інтегралом (але відомо, що існує). Виконаємо в підінтегральному виразі заміну: (тут та – неперервні функції, причому існує обернена функція ).

Доведемо, що

Для цього покажемо, що похідні зліва і справа рівні між собою.

Похідна зліва:

Похідна справа:

Формула доведена. Зауважимо, що функція може бути задана неявно і що замість , звичайно, можна використовувати іншу букву – і т.п.

Наприклад.

№1.

№2.

б) Нехай – неперервно диференційовані функції. Тоді, як відомо, або Інтегруючи цю рівність, одержуємо:

Ми одержали формулу інтегрування по частинах:

Наприклад.

№1.

№2.

Зауважимо, що як правило, функції та входять до складу функції при інтегруванні по частинах.