З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах. Інтеграли Ряди. Диференціальні рівняння

Змістовий модуль 2

Інтеграли Ряди. Диференціальні рівняння

Семінарське заняття 9

Тема 9. Невизначений інтеграл. Комплексні числа

Питання для усного опитування та дискусії

9.1. Задача інтегрального числення. Первісна.

9.2. Невизначений інтеграл, його властивості. Таблиця інтегралів.

9.3. Заміна змінних та інтегрування по частинах у невизначеному інтегралі.

9.4. Комплексні числа, операції над ними.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є: первісна, інтеграл, таблиця інтегралів, безпосереднє інтегрування, метод підстановки (заміни змінних), інтегрування по частинах, комплексне число, алгебраїчна форма комплексного числа, тригонометрична форма комплексного числа..

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Невизначений інтеграл

1. Первісна функція, невизначений інтеграл

Основна задача диференціального числення – це знаходження похідної або диференціала заданої функції. Сформулюємо обернену задачу по заданій похідній або диференціалу деякої невідомої функції потрібно знайти цю функцію. Інакше кажучи, маючи або потрібно знайти невідому функцію Це – основна задача інтегрального числення.

Первісною функцією для даної функції на даному проміжку називається така функція похідна якої дорівнює або диференціал якої дорівнює на розглядуваному проміжку.

Наприклад, однією з первісних для функції є функція , оскільки Іншою первісною для цієї ж функції є функція Має місце

Теорема. Дві різні первісні однієї й тієї ж функції, визначеної в деякому проміжку, відрізняються між собою в цьому проміжку на один і той же сталий доданок.

Дійсно, нехай та – різні первісні для функції визначеної в деякому проміжку, так що в цьому проміжку. Але якщо дві функції мають рівні похідні то вони розрізняються між собою на сталий доданок:

,

що і потрібно було довести.

Геометрично це означає, що коли та – дві первісні однієї й тієї ж функції, то дотичні до їх графіків при кожному значенні з даного проміжку паралельні між собою. Таким чином, віддаль між та вздовж осі залишається сталою: (рис. 1).

y
		М2	y=F2(x)
		с
		М1	y=F1(x)
	x			x

Рис. 1. та – первісні функції .

Отже, знайшовши одну яку-небудь первісну для даної функції та додаючи до неї всі можливі сталі , одержуємо всі первісні для функції .

Спільний вираз для всіх первісних даної неперервної функції називається невизначеним інтегралом від функції або від диференціального виразу і позначається так: (тут – підінтегральна функція, а – підінтегральний вираз).

Згідно з доведеним, де а – довільна стала.

Геометрично невизначений інтеграл – це сімейство “паралельних” кривих (Рис. 2)

y
			x

Рис. 2. Геометрична ілюстрація невизначеного інтеграла.