Метод линеаризации

Пусть рассматривается задача (5.1), которую представим в компонентной форме

. (5.7)

Полученное выражение можно рассматривать как систему n нелинейных уравнений с (n+1) неизвестными величинами . Для замыкания системы уравнений можно добавить условие нормирования собственного вектора:

. (5.8)

Использование метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (5.7) - (5.8) приводит к итерационному процессу

,

,

где.

Учитывая конкретный вид уравнений (5.7) и (5.8), получаем

(5.9)

В результате такого итерационного процесса будет найдено какое-то собственное значение и соответствующий ему собственный вектор, в зависимости от начального приближения.

Пример 5.5. Определить методом линеаризации собственные векторы матрицы

.

Согласно формулам (5.9) получаем итерационную процедуру для вычисления собственных значений и векторов:

На каждом этапе расчетов очередное приближение решения определяется по формулам

.

Результаты расчетов сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Расчет собственного значения и вектора методом линеаризации

Номер итерации			l
	1,0	1,0	1,0
	-0,375	1,875	4,75
	0,45741931	1,082795321	6,26862705
	0,376979184	0,946529203	6,038835844
	0,371426686	0,928555837	6,000515885
	0,371390677	0,928476699	6,000000051
	0,371390676	0,928476691	6,000000000

Очевидно, что решение сошлось к найденным ранее собственному вектору и собственному значению.