Алгебраическая проблема собственных значений

Пусть А - квадратная матрица размером ; если существуют такие векторы , что

, (5.1)

то l называется собственным значением, а X - собственным вектором матрицы A, соответствующим этому собственному значению.

В иной записи,

. (5.2)

Очевидно, что система линейных однородных алгебраических уравнений (5.2) имеет нетривиальное решение лишь в случае

.

Понятно, что характеристический многочлен является полиномом степени n от переменной l. Это, в свою очередь, означает, что существует n корней характеристического многочлена, и, следовательно, имеется n собственных значений и соответствующих им собственных векторов для матрицы A.

Пример 5.1. Пусть задана матрица

.

Требуется определить собственные значения и векторы этой матрицы.

Характеристический многочлен:

.

Собственные значения:

.

Определим первый собственный вектор, соответствующий ,

Здесь обозначено: - компоненты вектора .

Очевидно, что последняя система содержит линейно зависимые уравнения (как это и следовало ожидать при ). Используя любое из уравнений этой системы, получим .

Примем для однозначности определения собственных векторов условие нормирования , то есть

,

, .

Теперь найдем второй собственный вектор, соответствующий ,

Отсюда получаем связь компонент второго собственного вектора: .

Из условия нормирования следует:

,

, .