Формула прямоугольников

Рассмотрим простейший случай, когда в разложении (7.2) удерживается лишь одно слагаемое, содержащее функцию. В этом случае весовой коэффициент

,

и на отрезке интеграл заменяется выражением

. (7.5)

Геометрически это означает замену интеграла на указанном отрезке площадью прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине основания прямоугольника (рис. 7.1).

xk-1 xk-1/2 xk x

Рис. 7.1. Схема численного интегрирования методом прямоугольников

Воспользуемся для представления функции f(x) вблизи точки формулой Тейлора

.

Определим погрешность вычисления интеграла на отрезке:

.

Полученное выражение позволяет оценить погрешность:

(7.6)

Здесь обозначено:.

Формула (7.6) устанавливает, что при ограниченности второй производной на рассматриваемом отрезке погрешность формулы прямоугольников имеет третий порядок. Для всего отрезка интегрирования [a, b] получаем

, (7.7)

где.

Иными словами, для всего интервала [a, b] погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок.

Аналогичным способом можно проверить также часто применяемую на практике формулу интегрирования

,

геометрический смысл которой пояснен на рисунке 7.2.

Оценка погрешности интегрирования на отрезке, выполненная аналогично предыдущему случаю, приводит к результату

,

.

xk-1 xk x

Рис. 7.2. Схема численного интегрирования методом прямоугольников

Для всего интервала [a, b] погрешность интегрирования составляет

.

На рис. 7.3 приведены графики, отражающие сходимость процесса приближенного вычисления определенного интеграла с помощью формул метода прямоугольников с центральной точкой (формула (7.5)), “левой” точкой (рис. 7.2) и “правой” точкой.

Рис. 7.3. Значения интеграла, вычисленные точно (-------) и по формулам метода прямоугольников с центральной (- o -), “левой” (- D -) и “правой” (- à -) точками на сетках W_n