Применение интерполяционных формул

Для получения приближенного значения производной можно воспользоваться рассмотренными ранее способами аппроксимации значения функции. Идея заключается в том, что сложная функция заменяется вблизи заданной точки некоторым полиномом, для которого и определяется значение производной.

В частности, для трех точек полином Лагранжа имеет вид:

Определим для построенного полинома производные:

,

.

Для выбранной точки получаем значение первой производной

.

Очевидно, что выражение от переменной x не зависит.

В частном случае постоянного шага сетки получаем

,

.

Контрольные вопросы и задания

¨ Укажите принципы построения аппроксимации производных функции.

¨ Определите понятия: погрешность аппроксимации, порядок аппроксимации.

¨ Опишите способ оценки точности аппроксимации производной разностным аналогом.

¨ Как используются интерполяционные полиномы для построения аппроксимаций производных?

¨ Установите зависимость степени интерполяционного полинома от порядка аппроксимируемой производной.

¨ Определите погрешность полученной аппроксимации второй производной.

¨ Запишите самостоятельно выражение для аппроксимации смешанной производной и оцените ее погрешность.