Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим две матрицы, A и . Собственные числа обеих матриц, в чем нетрудно убедиться, одинаковы. Собственные векторы матриц обозначим соответственно :
.
Для скалярных произведений и вычислим разность
.
Поскольку
, (5.3)
получаем:
.
Отсюда следует, что для различных собственных значений, , собственные векторы матриц A и взаимно ортогональны.
Представим выражение (5.1) в малых приращениях:
.
Это выражение скалярно умножим на :
. (5.4)
Для оценки устойчивости собственных значений в формуле (5.4) положим i = j:
.
Поскольку
,
получаем
,
.
Отсюда следует оценка
.
Величина
называется коэффициентом перекоса; - угол между векторами .
Далее будем предполагать, что матрица A симметрична[31], то есть , и все ее собственные числа различны. В этом случае собственные векторы матрицы А образуют в полную ортонормированную систему, которую можно использовать в качестве базиса. Очевидно, что для симметричных матриц . А значит, имеет место устойчивость собственных значений:
.
Для оценки устойчивости собственных векторов теперь рассмотрим случай . В силу формулы (5.3) следует
.
Используя это выражение и условие ортогональности векторов
,
из соотношения (5.4) получаем
,
.
Разложим вектор по базису :
.
Вычислим скалярное произведение
,
которое позволяет получить выражение для коэффициентов разложения :
.
В случае i = p за счет произвола в выборе длины собственных векторов можно положить . Теперь разложение вектора по базису имеет вид
.
Оценим приращение вектора :
,
.
Отсюда очевидно, что неустойчивость собственных векторов имеет место в случае, когда велики коэффициенты перекоса , либо близки собственные значения .
Пример 5.2. Рассмотрим матрицу A, указанную в примере 5.1. Нетрудно убедиться, что для транспонированной матрицы собственные числа остаются теми же, , а соответствующие собственные векторы определяются следующим образом:
,
.
Перемножим скалярно собственные векторы обеих матриц:
,
,
то есть имеет место ортогональность собственных векторов матриц A и ;
,
.
Подсчитаем коэффициенты перекоса:
,
.
Пример 5.3. Оценить влияние погрешности на результаты вычисления собственных значений матрицы
,
где e - малое возмущение (погрешность).
Решение характеристического уравнения
.
дает корни (собственные значения):
,
,
,
.
В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных величинах e.
Таблица 5.1
Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 845 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!