Поиск собственных векторов

При численных расчетах, как правило, отыскиваются лишь приближенные величины собственных значений . В этом случае

и система уравнений

позволяет отыскать лишь тривиальное решение .

Пусть - произвольный вектор. Рассмотрим систему уравнений

. (5.5)

Пусть - собственные линейно-независимые векторы, соответствующие различным собственным значениям[32]; эти векторы в можно взять в качестве базиса. Разложим векторы по этому базису:

, .

Подставим эти выражения в систему уравнений (5.5):

,

.

В силу линейной независимости векторов получаем

, .

При условии, что , коэффициент становится большим, , вследствие чего

,

то есть вектор будет близок по направлению к собственному вектору . Повторим решение системы уравнений (5.5) с новой правой частью:

.

Вновь представим решение в виде разложения

и повторим предыдущие рассуждения, что приведет к выражению

.

Очевидно, что поскольку величина значительно преобладает над остальными коэффициентами , новый коэффициент будет еще больше, чем , то есть вектор будет еще ближе по направлению к собственному вектору . Иными словами возможно построение итерационного процесса вида

, (5.6)

причем - произвольный начальный вектор.

Следует отметить, что если собственное значение вычислено достаточно точно, то , что может привести к аварийной остановке вычислительного процесса.

В этом случае для повышения устойчивости расчетов в матрицу вносится некоторая погрешность, например, за счет искажения собственного значения .

Пример 5.4. Определить собственные векторы для матрицы .

При выполнении примера 5.1 получены собственные значения . Для определения собственных векторов, соответствующих первому собственному значению, зададим погрешность e: .

Система уравнений (5.6) для первого вектора принимает вид

Это система уравнений имеет следующее решение:

.

Для погрешности e=0,001 получаем

,

.

После нормирования компоненты собственного вектора единичной длины

.

Первый собственный вектор, определенный ранее для этой же матрицы,

.

Выполним такую же процедуру для второго собственного значения:

;

;

;

.

Нормированный собственный вектор

.

Второй собственный вектор, определенный в примере 5.1, отличается от найденного лишь направлением: .