Конечно-разностная аппроксимация

Пусть на отрезке [a, b] введена сетка с шагом,

.

В произвольной точке этой сетки приближенное значение производной некоторой функции u(x) можно представить несколькими способами:

;

;

.

u(xi+1) u(xi)   u(xi-1)     xi-h xi xi+h

Рис. 6.1. Схема численного дифференцирования

Вполне очевидно, что эти формулы по-разному, то есть с различной степенью точности, представляют значение производной в рассматриваемой точке.

Для оценки получаемых погрешностей воспользуемся разложениями рассматриваемой функции в ряды Тейлора вблизи заданной точки x_i :

,

.

Оценим погрешность представления величиной первой производной, то есть отклонение действительного значения производной от ее приближенного значения:

Полученный результат свидетельствует о том, что погрешность аппроксимации первой производной выражением определяется величиной, пропорциональной шагу h сетки при условии ограниченности второй производной и малости самого шага h. В этом случае говорят, что имеет место первый порядок аппроксимации.

Оценим погрешность аппроксимации величиной первой производной:

Видно, что в этом случае также имеет место первый порядок аппроксимации.

Аналогично поступим для оценки погрешности формулы:

В последнем случае получили уже второй порядок аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность.

Вполне очевидно, что в любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь в виду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию погрешности вычислений.

В самом деле, пусть вместо точных значений и вследствие ошибок округления получены значения и. Аппроксимация производной

вычисляется также с ошибкой. При известных оценках полную погрешность можно также оценить

.

Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала погрешности аппроксимации при записи разностного аналога:

,

где - чебышевская оценка второй производной заданной функции на отрезке [a, b].

Отсюда следует

.