![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть на отрезке [a, b] введена сетка с шагом,
.
В произвольной точке этой сетки приближенное значение производной некоторой функции u(x) можно представить несколькими способами:
;
;
.
![]() |
Рис. 6.1. Схема численного дифференцирования
Вполне очевидно, что эти формулы по-разному, то есть с различной степенью точности, представляют значение производной в рассматриваемой точке.
Для оценки получаемых погрешностей воспользуемся разложениями рассматриваемой функции в ряды Тейлора вблизи заданной точки xi :
,
.
Оценим погрешность представления величиной первой производной, то есть отклонение действительного значения производной от ее приближенного значения:
Полученный результат свидетельствует о том, что погрешность аппроксимации первой производной выражением определяется величиной, пропорциональной шагу h сетки при условии ограниченности второй производной и малости самого шага h. В этом случае говорят, что имеет место первый порядок аппроксимации.
Оценим погрешность аппроксимации величиной первой производной:
Видно, что в этом случае также имеет место первый порядок аппроксимации.
Аналогично поступим для оценки погрешности формулы:
В последнем случае получили уже второй порядок аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность.
Вполне очевидно, что в любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь в виду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию погрешности вычислений.
В самом деле, пусть вместо точных значений и вследствие ошибок округления получены значения и. Аппроксимация производной
вычисляется также с ошибкой. При известных оценках полную погрешность можно также оценить
.
Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала погрешности аппроксимации при записи разностного аналога:
,
где - чебышевская оценка второй производной заданной функции на отрезке [a, b].
Отсюда следует
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 294 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!