Метод наименьших квадратов. В практических исследования часто возникает ситуация, когда необходимо аппроксимировать табличные значения с помощью приближения j(x)

В практических исследования часто возникает ситуация, когда необходимо аппроксимировать табличные значения с помощью приближения j(x), содержащего определяемые коэффициенты в количестве, меньшем чем число узловых точек, m < n. По этой причине, в отличие от рассмотренных ранее способов аппроксимации функции полиномами Ньютона, Лагранжа, сплайнами, не используется условие - равенство значений функции f(x) и ее приближения j(x) для заданного числа значений аргумента. Так, в рассматриваемом методе наименьших квадратов, “близость” аппроксимирующего многочлена к самой функции оценивается с помощью какой-либо нормы, то есть “в среднем” для всего отрезка, на котором строится аппроксимация. Для получения алгоритма построения приближения воспользуемся полученными соотношениями (4.26) - (4.31).

Пусть известен набор значений функции для ряда значений ее аргумента. Для рассматриваемого случая положим H = . В линейном пространстве размерности (n+1) скалярное произведение и норма определяются известным образом:

,

.

Пусть отыскиваемое приближение зависит от известного числа m параметров .

Степень отклонения функции f(x) от ее приближения j(x) определяется соотношением

(4.32)

Для определения наименьшего отклонения воспользуемся необходимыми условиями минимума функции нескольких переменных:

Иными словами, речь идет о решении системы алгебраических уравнений, в общем случае - нелинейных:

В частном случае, когда приближение j(x) представимо в виде

,

оценку (4.32) отклонения функции от ее приближения можно записать в форме:

.

Условие минимальности отклонения приближения от функции записывается аналогично представленному выше:

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения :

Пример приближения функции | x | на отрезке [-1, 1] с использованием метода наименьших квадратов приведен на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Приближение полиномами P_n функции |x| методом наименьших квадратов

Контрольные вопросы и задания

¨ Сформулируйте задачу аппроксимации. Каковы условия разрешимости этой задачи?

¨ Укажите требования к аппроксимирующим функциям. В каком случае интерполяция называется линейной?

¨ Что представляют собой разделенные разности? Поясните их геометрический смысл.

¨ Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Ньютона. Что представляет собой схема Горнера?

¨ Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Лагранжа.

¨ Покажите, что полиномы Ньютона и Лагранжа, построенные на одном множестве табличных значений функции, тождественны.

¨ Приведите оценку погрешности аппроксимации функции, заданной таблично, полиномом Ньютона (Лагранжа).

¨ Укажите условия сходимости процесса интерполяции полиномами. Приведите примеры.

¨ Обоснуйте преимущества метода интерполяции для решения нелинейного уравнения.

¨ Опишите способ решение нелинейного уравнения с помощью обратной интерполяции.

¨ Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Эрмита.

¨ Опишите идею сплайн-аппроксимации функции и порядок построения кубического сплайна.

¨ Что понимается под сходимостью процесса интерполяции кубическими сплайнами? Сформулируйте и докажите лемму об оценке сходимости по "сеточной" норме.

¨ Сформулируйте и докажите теорему о сходимости процесса интерполяции функции кубическими сплайнами.

¨ Опишите порядок построения наилучшего приближения функции с использованием теории гильбертовых пространств.

¨ В чем заключается метод наименьших квадратов для аппроксимации функции, заданной таблично?