![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 10.4.
Ряд называется знакоположительным, если для любого номера n un ≥ 0.
Ниже приведены некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Теорема 10.4. (признак сравнения).
Даны два ряда (а) и
(б).
Если, начиная с некоторого n, выполняется условие un ≤ vn и ряд (б) сходится, то сходится и ряд (а). Если же ряд (а) расходится, то ряд (б) тоже расходится.
Теорема 10.5. (признак сравнения в предельной форме).
Даны два ряда: (а) и
(б).
Если существует конечный и не равный нулю предел , то ряды (а) и (б) сходятся или расходятся одновременно.
Замечание 10.1.
В качестве эталонных рядов для сравнения удобно выбрать:
1) гармонический ряд , который расходится;
2) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), который сходится при p > 1 и расходится при р ≤ 1;
3) геометрическую прогрессию , которая сходится, если 0 ≤ q < 1, и расходится, если q > 1.
Признак сравнения в предельной форме особенно эффективен для рядов, общий член которых есть алгебраическая функция аргумента n либо эквивалентная ей функция.
Пример 10.5.
Исследуем сходимость ряда .
Ряд знакоположительный, применим к нему признак сравнения в предельной форме, сравнив его с рядом , который сходится как обобщенный гармонический ряд с р =
> 1.
Имеем .
Предел отношения общих членов этих рядов при n → ∞ конечный, не равный нулю, следовательно, ряды ведут себя одинаково.
Ряд для сравнения подбираем следующим образом:
при n → ∞ ;
.
Таким образом, исходный ряд сходится.
Пример 10.6.
Исследуем сходимость ряда .
Ряд знакоположительный. Так как при n → ∞ аргумент , то
, поэтому для сравнения берем ряд
.
Последний ряд является гармоническим, все члены которого умножены на , что не влияет на его расходимость.
Так как и ряд
расходится, то ряд
также расходится.
Теорема 10.6 (признак Даламбера).
Дан ряд , un > 0 для всех n
/ N.
Если существует , то при q < 1 ряд сходится, при q > 1 ряд расходится, при q = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Замечание 10.2.
Признак Даламбера не дает результата для рядов с общим членом в виде дробно-рациональной функции или функции, содержащей под радикалом переменную n, так как замена n на n + 1 не меняет коэффициента при старших степенях n. Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториала n! = .
Пример 10.7.
Исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера.
Здесь un= , un+1=
.
Тогда q = .
Ряд сходится, так как q < 1.
Пример 10.8.
Исследуем сходимость ряда .
Имеем
Так как q > 1, то ряд расходится.
Теорема 10.7. (радикальный признак Коши).
Дан ряд .
Если существует , то
при q < 1 ряд сходится,
при q >1 ряд расходится,
при q = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Замечание 10.3.
Радикальный признак Коши дает результат в случае, когда общий член ряда имеет вид степенно-показательной функции целочисленного аргумента.
Пример 10.9.
Исследуем сходимость ряда .
Ряд знакоположительный, применим к нему признак Коши.
Имеем q= .
По радиальному признаку Коши ряд сходится.
Теорема 10.8. (интегральный признак Коши).
Дан ряд . Если функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) f(x)=un; 2) непрерывна, положительна и монотонно убывает при , то ряд
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
Замечание 10.4.
Интегральный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда функция f(x) имеет легко находимую первообразную.
Пример 10.10.
Исследуем сходимость ряда Дирихле .
Рассмотрим функцию .
1) p > 0.
При натуральных значениях аргумента значения функции совпадают с соответствующими членами ряда . Кроме того, f(x) при x ≥ 1 будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей.
Рассмотрим несобственный интеграл
Интеграл сходится при p>1, расходится при 0< p< 1, следовательно, по интегральному признаку Коши ряд сходится при >1, расходится при 0<p<1.
2) p ≤0.
Проверим необходимый признак сходимости:
, откуда
, следовательно, ряд расходится при p ≤0.
Пример 10.11.
Исследуем сходимость ряда .
Рассмотрим функцию . При натуральных значениях аргумента значения совпадают с соответствующими членами ряда:
. Кроме того, f(x) при x≥1,будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей (функция (x+1)2, стоящая в знаменателе, растет быстрее, чем функция ln(x+1), стоящая в числителе).
Рассмотрим несобственный интеграл , который берётся по частям. Имеем u=ln(x+1), du =
, откуда
.
Найдем .
(здесь для нахождения предела, было, применено правило Лопиталя).
Далее
, следовательно,
.
Таким образом, интеграл сходится, а значит, сходится и данный ряд.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 744 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!