Знакоположительные ряды

Определение 10.4.

Ряд называется знакоположительным, если для любого номера n u_n ≥ 0.

Ниже приведены некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Теорема 10.4. (признак сравнения).

Даны два ряда (а) и (б).

Если, начиная с некоторого n, выполняется условие u_n ≤ v_n и ряд (б) сходится, то сходится и ряд (а). Если же ряд (а) расходится, то ряд (б) тоже расходится.

Теорема 10.5. (признак сравнения в предельной форме).

Даны два ряда: (а) и (б).

Если существует конечный и не равный нулю предел , то ряды (а) и (б) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 10.1.

В качестве эталонных рядов для сравнения удобно выбрать:

1) гармонический ряд , который расходится;

2) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), который сходится при p > 1 и расходится при р ≤ 1;

3) геометрическую прогрессию , которая сходится, если 0 ≤ q < 1, и расходится, если q > 1.

Признак сравнения в предельной форме особенно эффективен для рядов, общий член которых есть алгебраическая функция аргумента n либо эквивалентная ей функция.

Пример 10.5.

Исследуем сходимость ряда .

Ряд знакоположительный, применим к нему признак сравнения в предельной форме, сравнив его с рядом , который сходится как обобщенный гармонический ряд с р = > 1.

Имеем .

Предел отношения общих членов этих рядов при n → ∞ конечный, не равный нулю, следовательно, ряды ведут себя одинаково.

Ряд для сравнения подбираем следующим образом:

при n → ∞ ; .

Таким образом, исходный ряд сходится.

Пример 10.6.

Исследуем сходимость ряда .

Ряд знакоположительный. Так как при n → ∞ аргумент , то , поэтому для сравнения берем ряд .

Последний ряд является гармоническим, все члены которого умножены на , что не влияет на его расходимость.

Так как и ряд расходится, то ряд также расходится.

Теорема 10.6 (признак Даламбера).

Дан ряд , u_n > 0 для всех n / N.

Если существует , то при q < 1 ряд сходится, при q > 1 ряд расходится, при q = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Замечание 10.2.

Признак Даламбера не дает результата для рядов с общим членом в виде дробно-рациональной функции или функции, содержащей под радикалом переменную n, так как замена n на n + 1 не меняет коэффициента при старших степенях n. Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториала n! = .

Пример 10.7.

Исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера.

Здесь u_n= , u_n+1= .

Тогда q = .

Ряд сходится, так как q < 1.

Пример 10.8.

Исследуем сходимость ряда .

Имеем

Так как q > 1, то ряд расходится.

Теорема 10.7. (радикальный признак Коши).

Дан ряд .

Если существует , то

при q < 1 ряд сходится,

при q >1 ряд расходится,

при q = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Замечание 10.3.

Радикальный признак Коши дает результат в случае, когда общий член ряда имеет вид степенно-показательной функции целочисленного аргумента.

Пример 10.9.

Исследуем сходимость ряда .

Ряд знакоположительный, применим к нему признак Коши.

Имеем q= .

По радиальному признаку Коши ряд сходится.

Теорема 10.8. (интегральный признак Коши).

Дан ряд . Если функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) f(x)=u_n; 2) непрерывна, положительна и монотонно убывает при , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 10.4.

Интегральный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда функция f(x) имеет легко находимую первообразную.

Пример 10.10.

Исследуем сходимость ряда Дирихле .

Рассмотрим функцию .

1) p > 0.

При натуральных значениях аргумента значения функции совпадают с соответствующими членами ряда . Кроме того, f(x) при x ≥ 1 будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей.

Рассмотрим несобственный интеграл

Интеграл сходится при p>1, расходится при 0< p< 1, следовательно, по интегральному признаку Коши ряд сходится при >1, расходится при 0<p<1.

2) p ≤0.

Проверим необходимый признак сходимости:

, откуда , следовательно, ряд расходится при p ≤0.

Пример 10.11.

Исследуем сходимость ряда .

Рассмотрим функцию . При натуральных значениях аргумента значения совпадают с соответствующими членами ряда: . Кроме того, f(x) при x≥1,будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей (функция (x+1)², стоящая в знаменателе, растет быстрее, чем функция ln(x+1), стоящая в числителе).

Рассмотрим несобственный интеграл , который берётся по частям. Имеем u=ln(x+1), du = , откуда

.

Найдем .

(здесь для нахождения предела, было, применено правило Лопиталя).

Далее , следовательно, .

Таким образом, интеграл сходится, а значит, сходится и данный ряд.