Знакочередующиеся ряды. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

Определение 10.5.

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

.

Теорема 10.9. (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной

величине с ростом n, то есть, начиная с некоторого n верно неравенство u_n+1≤u_n и

, то ряд сходится. Причем, если его сумма равна S, то 0≤S≤u₁.

Пример 10.12.

Исследуем сходимость ряда .

Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница.

Имеем , . Очевидно, что . Кроме того, .

Выполнены оба условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится.

Пример 10.13.

Исследуем сходимость ряда .

Данный ряд знакочередующийся. Члены этого ряда по абсолютной величине монотонно убывают. В самом деле,

, так как .

Однако, .

Значит, ряд расходится по необходимому признаку (следствие к теореме 10.2).

Если для знакочередующегося ряда выполнены условия теоремы 10.9, то он называется рядом лейбницева типа.