Знакопеременные ряды. Ряд называется знакопеременным, если членами его являются любые вещественные числа

Определение 10.6.

Ряд называется знакопеременным, если членами его являются любые вещественные числа.

Определение 10.7.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Теорема 10.10. (признак абсолютной сходимости)

Дан ряд , u_n . Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Замечание 10.5.

Так как знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применить признак абсолютной сходимости.

Пример 10.14.

Исследуем сходимость ряда .

Данный ряд знакопеременный. Применим к нему признак абсолютной сходимости.

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: . Этот знакоположительный ряд сравним в непредельной форме с рядом , который представляет собой геометрическую прогрессию с , следовательно, сходится.

Имеем очевидное неравенство , откуда ряд также сходится, а значит, по признаку абсолютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.

Определение 10.8.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 10.15.

Исследуем на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд

Лейбница .

По признаку Лейбница этот ряд сходится, так как для него выполняются оба условия этого признака:

а) и б) .

Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда является гармоническим, а значит, расходится.

Следовательно, ряд Лейбница сходится условно.

Теорема 10.11.

В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд u₁+u₂+…+u_n+…, то сходится и ряд (u₁+u₂+…+u_n)+ (u_n+1+u_n+2+…+u_l)+ (u_l+1+u_l+2+…+u_m)+…, причем оба ряда имеют одну и ту же сумму.

Теорема 10.12.

Абсолютно сходящийся ряд остаётся сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема 10.13.

В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.

Определение 10.9.

Произведением рядов и называется ряд , где w_n=u₁v_n+u₂v_n-1+…+u_nv₁.

Теорема 10.14.

Если перемножаемые ряды сходятся абсолютно, то ряд-произведение сходится также абсолютно и имеет сумму, равную произведению сумм рядов-сомножителей.

Глава XI. Функциональные ряды