![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 10.6.
Ряд называется знакопеременным, если членами его являются любые вещественные числа.
Определение 10.7.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
.
Теорема 10.10. (признак абсолютной сходимости)
Дан ряд , un
. Если сходится ряд
, то сходится и ряд
.
Замечание 10.5.
Так как знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применить признак абсолютной сходимости.
Пример 10.14.
Исследуем сходимость ряда .
Данный ряд знакопеременный. Применим к нему признак абсолютной сходимости.
Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: . Этот знакоположительный ряд сравним в непредельной форме с рядом
, который представляет собой геометрическую прогрессию с
, следовательно,
сходится.
Имеем очевидное неравенство , откуда ряд
также сходится, а значит, по признаку абсолютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.
Определение 10.8.
Если ряд сходится, а ряд
расходится, то ряд
называется условно сходящимся.
Пример 10.15.
Исследуем на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд
Лейбница .
По признаку Лейбница этот ряд сходится, так как для него выполняются оба условия этого признака:
а) и б)
.
Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда является гармоническим, а значит, расходится.
Следовательно, ряд Лейбница сходится условно.
Теорема 10.11.
В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд u1+u2+…+un+…, то сходится и ряд (u1+u2+…+un)+ (un+1+un+2+…+ul)+ (ul+1+ul+2+…+um)+…, причем оба ряда имеют одну и ту же сумму.
Теорема 10.12.
Абсолютно сходящийся ряд остаётся сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.
Теорема 10.13.
В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.
Определение 10.9.
Произведением рядов и
называется ряд
, где wn=u1vn+u2vn-1+…+unv1.
Теорема 10.14.
Если перемножаемые ряды сходятся абсолютно, то ряд-произведение сходится также абсолютно и имеет сумму, равную произведению сумм рядов-сомножителей.
Глава XI. Функциональные ряды
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 217 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!